номер 561, страница 187, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

561. Запишите дроби $\frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, \frac{2}{3}, \frac{5}{9}$ в виде суммы аликвотных дробей с различными знаменателями.

Образец:

$\frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$, или

$\frac{7}{12} = \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12}$.

$\frac{3}{4}$. Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде суммы аликвотных дробей, можно разложить ее числитель на слагаемые, которые являются делителями знаменателя. Знаменатель равен 4, его делители: 1, 2, 4. Представим числитель 3 как сумму $2+1$.

$\frac{3}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4}$.

Сократим дробь $\frac{2}{4}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получаем сумму двух аликвотных дробей с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

$\frac{5}{7}$. У знаменателя 7 только два делителя: 1 и 7. Разложить числитель 5 на сумму этих делителей так, чтобы получить дроби с разными знаменателями, не получится. Поэтому преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 2, чтобы получить знаменатель с большим количеством делителей:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$.

Делители нового знаменателя 14: 1, 2, 7, 14. Представим новый числитель 10 как сумму некоторых из этих делителей: $10 = 7+2+1$.

$\frac{10}{14} = \frac{7+2+1}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{1}{14}$.

Теперь сократим получившиеся дроби:

$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$, $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.

В итоге получаем сумму трех аликвотных дробей с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$.

Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{1}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$.

$\frac{7}{8}$. Делители знаменателя 8: 1, 2, 4, 8. Представим числитель 7 как сумму некоторых из этих делителей: $7 = 4+2+1$.

$\frac{7}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8}$.

Сократим дроби:

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Получаем сумму трех аликвотных дробей с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.

Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.

$\frac{2}{3}$. Делители знаменателя 3: 1, 3. Разложение числителя 2 как $1+1$ приведет к сумме одинаковых дробей $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$. Поэтому преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.

Делители нового знаменателя 6: 1, 2, 3, 6. Представим новый числитель 4 как сумму $3+1$.

$\frac{4}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6}$.

Сократим дробь $\frac{3}{6}$: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Получаем сумму двух аликвотных дробей с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$.

Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$.

$\frac{5}{9}$. Делители знаменателя 9: 1, 3, 9. Простое разложение числителя 5 не подходит. Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18}$.

Делители нового знаменателя 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Представим новый числитель 10 как сумму $9+1$.

$\frac{10}{18} = \frac{9+1}{18} = \frac{9}{18} + \frac{1}{18}$.

Сократим дробь $\frac{9}{18}$: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Получаем сумму двух аликвотных дробей с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.

Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.