номер 632, страница 210, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

632*. В первый час машина проехала $\frac{1}{4}$ расстояния между двумя городами и 10 км, а во второй час — $\frac{2}{5}$ остатка расстояния и 12 км. Когда машина в третий час проехала $\frac{2}{3}$ нового остатка расстояния и 10 км, до города осталось 20 км.

• Каково расстояние между двумя городами?
• Какое расстояние машина проехала за второй час?

Каково расстояние между двумя городами?

Для решения этой задачи будем использовать метод "решения с конца", двигаясь по шагам в обратном порядке.

1. Найдем расстояние, которое оставалось проехать перед третьим часом пути (назовем его "второй остаток"). По условию, в третий час машина проехала $\frac{2}{3}$ этого остатка и еще 10 км. После этого осталось 20 км. Это значит, что сумма оставшегося расстояния и дополнительных километров ($20 \text{ км} + 10 \text{ км} = 30 \text{ км}$) составляет ту часть "второго остатка", которая осталась после прохождения $\frac{2}{3}$ от него. Эта часть равна $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, "второй остаток" (расстояние перед третьим часом) равен: $30 \div \frac{1}{3} = 30 \times 3 = 90$ км.

2. Теперь найдем расстояние, которое оставалось проехать перед вторым часом пути ("первый остаток"). Во второй час машина проехала $\frac{2}{5}$ этого остатка и еще 12 км, после чего осталось 90 км (как мы нашли в предыдущем шаге). Это значит, что сумма оставшегося расстояния и дополнительных километров ($90 \text{ км} + 12 \text{ км} = 102 \text{ км}$) составляет часть "первого остатка", равную $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Следовательно, "первый остаток" (расстояние перед вторым часом) равен: $102 \div \frac{3}{5} = 102 \times \frac{5}{3} = 34 \times 5 = 170$ км.

3. Наконец, найдем общее расстояние между городами. В первый час машина проехала $\frac{1}{4}$ всего пути и еще 10 км, после чего осталось 170 км. Это значит, что сумма оставшегося расстояния и дополнительных километров ($170 \text{ км} + 10 \text{ км} = 180 \text{ км}$) составляет часть всего пути, равную $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, общее расстояние равно: $180 \div \frac{3}{4} = 180 \times \frac{4}{3} = 60 \times 4 = 240$ км.

Ответ: 240 км.

Какое расстояние машина проехала за второй час?

Из первого пункта решения мы знаем, что остаток расстояния после первого часа пути ("первый остаток") составлял 170 км. Согласно условию задачи, за второй час машина проехала $\frac{2}{5}$ этого остатка и еще 12 км.

Вычислим это расстояние:

$(\frac{2}{5} \times 170 \text{ км}) + 12 \text{ км} = (34 \times 2) \text{ км} + 12 \text{ км} = 68 \text{ км} + 12 \text{ км} = 80$ км.

Ответ: 80 км.