номер 3, страница 132, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как сокращают обыкновенную дробь?

Сокращение обыкновенной дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий положительный делитель, отличный от единицы. Эта операция основана на основном свойстве дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же число. Цель сокращения — получить дробь, равную исходной, но с меньшими по модулю числителем и знаменателем. Конечным результатом обычно является несократимая дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).

Существует два основных способа сокращения дроби:

1. Поэтапное сокращение

Этот метод заключается в последовательном делении числителя и знаменателя на их общие делители, пока дробь не станет несократимой.

• Находят любой общий делитель для числителя и знаменателя. Часто удобно начинать с проверки простых чисел: 2, 3, 5 и т.д., используя признаки делимости.
• Делят числитель и знаменатель на найденный общий делитель.
• Повторяют процесс с новой дробью, пока у числителя и знаменателя не останется общих делителей, кроме 1.

Пример: Сократим дробь $ \frac{24}{36} $.

Замечаем, что и 24, и 36 — четные числа, значит, они делятся на 2.

$ \frac{24 : 2}{36 : 2} = \frac{12}{18} $

Числа 12 и 18 также четные. Снова делим на 2.

$ \frac{12 : 2}{18 : 2} = \frac{6}{9} $

Теперь числитель 6 и знаменатель 9 делятся на 3.

$ \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3} $

У чисел 2 и 3 нет общих делителей, кроме 1. Дробь $ \frac{2}{3} $ — несократимая.

2. Сокращение на Наибольший Общий Делитель (НОД)

Это наиболее эффективный способ, позволяющий сократить дробь за один шаг.

• Находят Наибольший Общий Делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Для этого можно, например, разложить оба числа на простые множители и найти произведение их общих множителей.
• Делят числитель и знаменатель на найденный НОД.

Пример: Сократим ту же дробь $ \frac{24}{36} $.

Найдем НОД для 24 и 36.

Разложение на простые множители:

$ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $

$ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 $

Общие множители: $ 2, 2, 3 $.

$ НОД(24, 36) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $

Теперь разделим числитель и знаменатель на 12.

$ \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3} $

Результат получен сразу и является несократимой дробью.

Ответ: Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1. Для получения несократимой дроби за один шаг следует разделить числитель и знаменатель на их Наибольший Общий Делитель (НОД).