Номер 673, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задача от мудрой совы

673. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?

Давайте разберемся в условиях задачи. Пусть $Д$ — общее количество девочек в классе, а $М$ — общее количество мальчиков. Всего в классе 30 учеников, значит $Д + М = 30$.

1. Анализ исходной рассадки.

По условию, половина всех девочек сидит с мальчиками. Это означает, что количество девочек, сидящих с мальчиками, равно $Д/2$. Следовательно, общее число девочек $Д$ должно быть четным.

Эти $Д/2$ девочек сидят за партами с мальчиками. Количество мальчиков, сидящих с девочками, соответственно, также равно $Д/2$.

Оставшаяся половина девочек ($Д/2$) сидит не с мальчиками, значит, они сидят с другими девочками. Чтобы они могли сесть по двое за парты, их количество ($Д/2$) тоже должно быть четным. Если $Д/2$ — четное число, то само число $Д$ должно делиться на 4.

2. Анализ требуемой рассадки.

Вопрос состоит в том, можно ли учеников пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками. Это означает, что количество мальчиков, сидящих с девочками, должно стать равным $М/2$. Следовательно, общее число мальчиков $М$ также должно быть четным.

3. Сопоставление условий.

Ключевой факт заключается в том, что в любой смешанной паре "мальчик-девочка" сидит один мальчик и одна девочка. Поэтому количество мальчиков, сидящих с девочками, всегда равно количеству девочек, сидящих с мальчиками.

Из первого условия (исходная рассадка) мы знаем, что количество девочек, сидящих с мальчиками, равно $Д/2$.

Из второго условия (требуемая рассадка) мы хотим, чтобы количество мальчиков, сидящих с девочками, было равно $М/2$.

Поскольку эти два числа должны быть равны, мы приходим к выводу, что для возможности такой пересадки необходимо выполнение равенства:

$Д/2 = М/2$

Это равенство верно только тогда, когда $Д = М$. Если бы $Д = М$, то, так как $Д + М = 30$, мы бы получили $Д = М = 15$.

Однако, как мы выяснили в пункте 1, число девочек $Д$ должно быть кратно 4. Число 15 не кратно 4. Это означает, что ситуация, когда $Д = М$, в принципе невозможна при заданных начальных условиях.

Пример для наглядности:

Пусть в классе 20 девочек ($Д=20$) и 10 мальчиков ($М=10$). Это удовлетворяет условиям: $20+10=30$, и $Д=20$ кратно 4.

• Исходная рассадка: Половина девочек ($20/2 = 10$) сидит с мальчиками. Для этого требуется 10 мальчиков, и они у нас есть. Остальные 10 девочек сидят друг с другом за 5 партами. Такая рассадка возможна.
• Требуемая рассадка: Можно ли их пересадить, чтобы половина мальчиков ($10/2 = 5$) сидела с девочками? Это означало бы, что за смешанными партами сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Но из первого условия мы знаем, что число девочек, сидящих с мальчиками — это $Д/2 = 10$. Так как $5 \neq 10$, то выполнить оба условия одновременно невозможно.

Таким образом, пересадить учеников требуемым образом можно только в том случае, если число мальчиков и девочек равно, но начальное условие задачи делает этот случай невозможным.

Ответ: Нет, нельзя.