Номер 221, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 8. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения. Упражнения - номер 221, страница 60.

Условие.

221. В записи 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо расставить знаки «+» между восемью цифрами 4 так, чтобы итоговая сумма стала равна 500. Цифры, между которыми не стоит знак «+», образуют многозначные числа (например, 44, 444).

Первый шаг – проанализировать свойства искомой суммы. Целевое значение – 500, оно оканчивается на 0. Любое слагаемое в выражении будет числом, составленным из цифр 4 (например, 4, 44, 444), и, следовательно, будет оканчиваться на 4. Чтобы сумма нескольких чисел, каждое из которых оканчивается на 4, оканчивалась на 0, количество слагаемых должно быть кратно 5. Это следует из того, что произведение количества слагаемых $k$ на 4 должно давать число, оканчивающееся на 0 ($4 \times k = \dots0$). Это верно для $k=5, 10, 15, \dots$.

В нашем распоряжении всего 8 цифр, поэтому максимальное количество слагаемых, которое мы можем получить, равно 8 (если каждое слагаемое – это одна цифра 4). Таким образом, единственно возможное количество слагаемых в искомой сумме – это 5. Это означает, что мы должны расставить $5-1=4$ знака «+».

Теперь задача сводится к подбору пяти чисел, составленных из восьми цифр 4, сумма которых равна 500. Чтобы получить сумму, близкую к 500, логично предположить, что одно из слагаемых должно быть достаточно большим. Возьмем самое большое возможное трехзначное число – 444. Это слагаемое состоит из трех цифр 4.

Оставшаяся сумма, которую нужно набрать, равна $500 - 444 = 56$. Для ее получения у нас осталось $8 - 3 = 5$ цифр 4, из которых нужно составить оставшиеся $5 - 1 = 4$ слагаемых.

Итак, нужно из пяти цифр 4 составить четыре слагаемых, дающих в сумме 56. Снова возьмем наибольшее возможное число – 44. Оно состоит из двух цифр 4. Тогда остаток суммы составит $56 - 44 = 12$. Для этого у нас осталось $5 - 2 = 3$ цифры 4, из которых нужно составить $4 - 1 = 3$ слагаемых. Очевидно, что три оставшихся слагаемых – это 4, 4 и 4, так как их сумма равна $4 + 4 + 4 = 12$.

Таким образом, мы нашли все пять слагаемых: 444, 44, 4, 4, 4. Проверим итоговое выражение: общее количество цифр 4 равно $3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8$, а сумма равна $444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 488 + 12 = 500$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $444 + 44 + 4 + 4 + 4$