Номер 219, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 8. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения. Упражнения - номер 219, страница 60.

Условие.

219. Найдите наиболее удобным способом сумму:

1) $1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10;$

2) $1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100.$

Решение.

Решение 2.

Для нахождения суммы указанных числовых рядов наиболее удобным способом является метод попарного сложения. Этот метод заключается в группировке слагаемых: первого с последним, второго с предпоследним и так далее. Сумма каждой такой пары будет одинаковой.

1) $1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10$

Сгруппируем слагаемые в пары и найдем их сумму:

$1 + 10 = 11$
$2 + 9 = 11$
$3 + 8 = 11$
$4 + 7 = 11$
$5 + 6 = 11$

Мы получили 5 пар, так как всего у нас 10 чисел ($10 / 2 = 5$). Сумма каждой пары равна 11. Чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:

$S = 11 \times 5 = 55$

Этот же результат можно получить, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, а $a_n$ — последний:

$S_{10} = \frac{10(1 + 10)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Ответ: 55

2) $1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100$

Применим аналогичный метод для суммы первых 100 натуральных чисел. Сгруппируем слагаемые в пары:

$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$
...
$50 + 51 = 101$

Всего у нас 100 чисел, из которых можно составить $100 / 2 = 50$ пар. Сумма каждой пары равна 101. Найдем общую сумму, умножив сумму одной пары на количество пар:

$S = 101 \times 50 = 5050$

Проверим результат по формуле суммы арифметической прогрессии, где $n=100$, $a_1=1$, $a_n=100$:

$S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$

Ответ: 5050