Номер 220, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 220, страница 60.

220. 1) На сколько сумма $1 + 3 + 5 + ... + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + ... + 100?$

2) Какая из сумм $1 + 3 + 5 + ... + 2001$ и $2 + 4 + 6 + ... + 2000$ больше и на сколько?

1) Обозначим первую сумму (сумму нечетных чисел) как $S_1$, а вторую (сумму четных чисел) как $S_2$.

$S_1 = 1 + 3 + 5 + ... + 99$

$S_2 = 2 + 4 + 6 + ... + 100$

Чтобы найти, на сколько первая сумма меньше второй, нужно вычислить разность $S_2 - S_1$.

$S_2 - S_1 = (2 + 4 + 6 + ... + 100) - (1 + 3 + 5 + ... + 99)$

Сгруппируем слагаемые попарно, вычитая из каждого четного числа предшествующее ему нечетное:

$S_2 - S_1 = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (100 - 99)$

Результат вычитания в каждой паре равен 1. Теперь необходимо посчитать количество таких пар. Количество слагаемых в каждой сумме одинаково. В сумме $S_1$ находятся все нечетные числа от 1 до 99. Их количество равно $(99 - 1) / 2 + 1 = 49 + 1 = 50$. Аналогично, в сумме $S_2$ находятся все четные числа от 2 до 100, и их количество также равно $100 / 2 = 50$.

Таким образом, у нас 50 пар, разность в каждой из которых равна 1. Общая разность составляет:

$S_2 - S_1 = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{50 \text{ раз}} = 50 \times 1 = 50$

Ответ: на 50.

2) Обозначим первую сумму (нечетные числа) как $S_A$, а вторую (четные числа) как $S_B$.

$S_A = 1 + 3 + 5 + ... + 2001$

$S_B = 2 + 4 + 6 + ... + 2000$

Чтобы определить, какая сумма больше и на сколько, найдем их разность $S_A - S_B$.

$S_A - S_B = (1 + 3 + 5 + ... + 2001) - (2 + 4 + 6 + ... + 2000)$

Сгруппируем слагаемые следующим образом, оставив первое слагаемое суммы $S_A$ без пары:

$S_A - S_B = 1 + (3 - 2) + (5 - 4) + ... + (2001 - 2000)$

Разность в каждой скобке равна 1:

$(3 - 2) = 1$

$(5 - 4) = 1$

...и так далее до

$(2001 - 2000) = 1$

Посчитаем количество таких скобок. Оно равно количеству слагаемых в сумме $S_B$. В сумме $S_B$ находятся все четные числа от 2 до 2000, их количество равно $2000 / 2 = 1000$.

Значит, у нас есть 1000 пар, каждая из которых дает в результате 1. Тогда итоговая разность равна:

$S_A - S_B = 1 + \underbrace{(1 + 1 + ... + 1)}_{1000 \text{ раз}} = 1 + 1000 = 1001$

Поскольку разность $S_A - S_B$ положительна ($1001 > 0$), то сумма $S_A$ больше суммы $S_B$ на 1001.

Ответ: Сумма $1 + 3 + 5 + ... + 2001$ больше на 1001.