Номер 168, страница 43, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 168 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

1) Площадь прямоугольника равна $68 \text{ дм}^2$, а длина больше ширины на $13 \text{ дм}$. Чему равны стороны этого прямоугольника?

2) Ширина прямоугольника на $9 \text{ см}$ меньше длины, а площадь равна $90 \text{ см}^2$. Найти стороны прямоугольника.

3) Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет $18 \text{ м}^2$, а ширина в 2 раза меньше длины.

4) Площадь прямоугольника равна $64 \text{ дм}^2$, а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?

5) Длину прямоугольника уменьшили на $3 \text{ см}$, а ширину увеличили на $4 \text{ см}$ и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна $30 \text{ см}^2$.

6) После того как ширину прямоугольника увеличили на $1 \text{ м}$, а длину уменьшили на $5 \text{ м}$, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника $91 \text{ м}^2$?

1) Пусть $w$ - ширина прямоугольника в дм, а $l$ - его длина в дм. Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:

$l \cdot w = 68$

$l = w + 13$

Подставим второе уравнение в первое: $(w + 13) \cdot w = 68$. Мы ищем два числа, произведение которых равно 68, а разница между ними равна 13. Разложим 68 на множители: $68 = 1 \cdot 68 = 2 \cdot 34 = 4 \cdot 17$. Пара множителей 4 и 17 удовлетворяет условию, так как $17 - 4 = 13$. Следовательно, ширина прямоугольника $w = 4$ дм, а длина $l = 17$ дм.

Ответ: стороны этого прямоугольника равны 4 дм и 17 дм.

2) Пусть $l$ - длина прямоугольника в см, а $w$ - его ширина в см. Составим систему уравнений на основе условия:

$w = l - 9$

$l \cdot w = 90$

Подставим первое уравнение во второе: $l \cdot (l - 9) = 90$. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно 90, а разница равна 9. Рассмотрим множители числа 90: $90 = 1 \cdot 90 = 2 \cdot 45 = 3 \cdot 30 = 5 \cdot 18 = 6 \cdot 15$. Пара 6 и 15 удовлетворяет условию: $15 - 6 = 9$. Таким образом, длина $l = 15$ см, а ширина $w = 6$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 15 см.

3) Пусть $l$ - длина прямоугольника в м, а $w$ - его ширина в м. Из условия имеем:

$S = l \cdot w = 18$

$l = 2w$

Подставим второе уравнение в первое: $(2w) \cdot w = 18$, что дает $2w^2 = 18$. Разделив на 2, получим $w^2 = 9$, откуда ширина $w=3$ м. Тогда длина $l = 2 \cdot 3 = 6$ м. Теперь найдем периметр $P$ по формуле $P = 2(l + w)$.

$P = 2(6 + 3) = 2 \cdot 9 = 18$ м.

Ответ: периметр прямоугольника равен 18 м.

4) Пусть $w$ - ширина прямоугольника в дм, а $l$ - его длина в дм. По условию:

$S = l \cdot w = 64$

$l = 4w$

Подставим второе уравнение в первое: $(4w) \cdot w = 64$, что дает $4w^2 = 64$. Разделив на 4, получим $w^2 = 16$, откуда ширина $w=4$ дм. Тогда длина $l = 4 \cdot 4 = 16$ дм. Найдем периметр $P$ по формуле $P = 2(l + w)$.

$P = 2(16 + 4) = 2 \cdot 20 = 40$ дм.

Ответ: периметр прямоугольника равен 40 дм.

5) Пусть $l$ и $w$ - исходные длина и ширина прямоугольника в см. Площадь $S = l \cdot w = 30 \text{ см}^2$. После изменений стороны стали $(l - 3)$ и $(w + 4)$. Так как получился квадрат, его стороны равны, то есть $l - 3 = w + 4$. Из этого равенства выразим длину: $l = w + 7$.

Подставим это в формулу площади: $(w + 7) \cdot w = 30$. Ищем два числа, произведение которых 30, а разница 7. Это числа 3 и 10. Так как $l > w$, то $w=3$ см, а $l=10$ см. Сторона получившегося квадрата $a$ равна $l - 3$ или $w + 4$.

$a = 10 - 3 = 7$ см.

$a = 3 + 4 = 7$ см.

Ответ: сторона квадрата равна 7 см.

6) Пусть $l$ и $w$ - исходные длина и ширина прямоугольника в м. Площадь $S = l \cdot w = 91 \text{ м}^2$. После изменений стороны стали $(w + 1)$ и $(l - 5)$. Так как получился квадрат, его стороны равны: $w + 1 = l - 5$. Выразим длину: $l = w + 6$.

Подставим в формулу площади: $(w + 6) \cdot w = 91$. Нам нужны два числа, произведение которых 91, а разница 6. Разложим 91 на множители: $91 = 7 \cdot 13$. Разница $13 - 7 = 6$. Следовательно, $w=7$ м, а $l=13$ м. Найдем сторону квадрата $a$.

$a = w + 1 = 7 + 1 = 8$ м.

$a = l - 5 = 13 - 5 = 8$ м.

Площадь квадрата $S_{квадрата} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ м}^2$.

Ответ: площадь квадрата равна 64 м².