Номер 166, страница 42, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

166 Наблюдательный Юра заметил, что если в двузначное число, выражающее расстояние в километрах, которое он сегодня проехал, вставить нуль между цифрами десятков и единиц, то получится число, в 9 раз большее исходного.

Какое расстояние сегодня проехал Юра?

Пусть искомое двузначное число, выражающее расстояние в километрах, можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

По условию, $a$ является натуральным числом от 1 до 9 (так как число двузначное, первая цифра не может быть нулем), а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Если между цифрами десятков и единиц вставить нуль, то получится трехзначное число, которое можно записать как $a0b$. В этом новом числе $a$ будет цифрой сотен, 0 — цифрой десятков, а $b$ — цифрой единиц. Значение этого нового числа равно $100 \cdot a + 0 \cdot 10 + b$, то есть $100a + b$.

Согласно условию задачи, новое число в 9 раз больше исходного. Это позволяет нам составить следующее уравнение:

$100a + b = 9 \cdot (10a + b)$

Теперь раскроем скобки и приступим к решению уравнения:

$100a + b = 90a + 9b$

Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть уравнения, а члены с переменной $b$ — в правую:

$100a - 90a = 9b - b$

$10a = 8b$

Для упрощения разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 2:

$5a = 4b$

Теперь нам нужно найти такие цифры $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому равенству, а также соответствуют ограничениям для цифр двузначного числа ($a$ от 1 до 9, $b$ от 0 до 9).

Из уравнения $5a = 4b$ видно, что произведение $5a$ должно быть кратно 4. Поскольку число 5 не делится на 4, то на 4 должна делиться цифра $a$.

Среди однозначных чисел от 1 до 9 кратными 4 являются только 4 и 8. Рассмотрим оба этих случая.

1. Если $a = 4$, подставим это значение в уравнение $5a = 4b$:
$5 \cdot 4 = 4b$
$20 = 4b$
$b = 5$
Полученные значения $a=4$ и $b=5$ являются допустимыми цифрами. Исходное число в этом случае равно 45.

2. Если $a = 8$, подставим это значение в уравнение $5a = 4b$:
$5 \cdot 8 = 4b$
$40 = 4b$
$b = 10$
Значение $b=10$ не является цифрой, так как цифры могут быть только от 0 до 9. Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, единственным возможным решением является число 45.

Проведем проверку. Исходное число — 45. Вставив нуль между цифрами 4 и 5, получаем число 405. Проверим, больше ли оно исходного в 9 раз:

$45 \cdot 9 = 405$

$405 = 405$

Равенство верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: Юра сегодня проехал 45 км.