Номер 196, страница 52, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

D 196 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

Мастер за несколько часов изготовил 84 одинаковые детали. Если бы он изготавливал в час на 2 детали больше, то ему для этой работы потребовалось бы на час меньше. С какой производительностью работал мастер, если в течение всего времени работы она не менялась?

Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

Сначала переведем условие задачи на математический язык.
Пусть $v$ — это производительность мастера (количество деталей, изготавливаемых в час), а $t$ — это время, за которое он выполнил всю работу (в часах).
По условию, мастер изготовил 84 детали. Произведение производительности на время равно общему объему работы, поэтому можно составить первое уравнение:
$v \cdot t = 84$
Далее, в условии говорится, что если бы мастер изготавливал в час на 2 детали больше, его новая производительность была бы $v + 2$ деталей в час. В этом случае на всю работу ему потребовалось бы на 1 час меньше, то есть новое время было бы $t - 1$ часов. Общий объем работы при этом не изменился бы и составил 84 детали. На основе этого составим второе уравнение:
$(v + 2)(t - 1) = 84$
Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v \cdot t = 84 \\ (v + 2)(t - 1) = 84 \end{cases}$
Теперь решим задачу методом перебора. Из первого уравнения следует, что $v$ и $t$ являются делителями числа 84. Так как $v$ - это производительность (количество деталей), а $t$ - время, оба этих значения должны быть положительными. Выпишем все натуральные делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Будем подставлять возможные значения для $v$ (производительности) и находить соответствующее $t$ из первого уравнения. Затем будем проверять, выполняется ли второе уравнение.
1. Пусть $v=1$ деталь/час. Тогда $t = 84/1 = 84$ часа.
Проверяем второе условие: $(1 + 2)(84 - 1) = 3 \cdot 83 = 249$. Это не равно 84.
2. Пусть $v=2$ детали/час. Тогда $t = 84/2 = 42$ часа.
Проверяем второе условие: $(2 + 2)(42 - 1) = 4 \cdot 41 = 164$. Это не равно 84.
3. Пусть $v=3$ детали/час. Тогда $t = 84/3 = 28$ часов.
Проверяем второе условие: $(3 + 2)(28 - 1) = 5 \cdot 27 = 135$. Это не равно 84.
4. Пусть $v=4$ детали/час. Тогда $t = 84/4 = 21$ час.
Проверяем второе условие: $(4 + 2)(21 - 1) = 6 \cdot 20 = 120$. Это не равно 84.
5. Пусть $v=6$ деталей/час. Тогда $t = 84/6 = 14$ часов.
Проверяем второе условие: $(6 + 2)(14 - 1) = 8 \cdot 13 = 104$. Это не равно 84.
6. Пусть $v=7$ деталей/час. Тогда $t = 84/7 = 12$ часов.
Проверяем второе условие: $(7 + 2)(12 - 1) = 9 \cdot 11 = 99$. Это не равно 84.
7. Пусть $v=12$ деталей/час. Тогда $t = 84/12 = 7$ часов.
Проверяем второе условие: $(12 + 2)(7 - 1) = 14 \cdot 6 = 84$. Это верное равенство.
Значит, данное значение $v$ является решением задачи. Искомая производительность мастера — 12 деталей в час.
Для полноты решения можно проверить и остальные делители, но так как в таких задачах обычно одно решение, мы его уже нашли. Например, следующий делитель:
8. Пусть $v=14$ деталей/час. Тогда $t = 84/14 = 6$ часов.
Проверяем второе условие: $(14 + 2)(6 - 1) = 16 \cdot 5 = 80$. Это не равно 84.
Ответ: 12 деталей в час.