Номер 197, страница 52, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

197 Обозначь $x$ цифру десятков, а $y$ – цифру единиц двузначного числа. Построй математическую модель задачи и реши её методом перебора.

Задумано двузначное число, меньшее 80, которое на 58 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

Построение математической модели

Пусть $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц искомого двузначного числа. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе, само число можно представить как $10x + y$. Произведение цифр этого числа равно $x \cdot y$.

По условию задачи, задуманное число на 58 больше произведения своих цифр. Это можно записать в виде уравнения:

$10x + y = xy + 58$

Также в задаче есть дополнительные условия, которые представляют собой систему ограничений:

• Поскольку число двузначное, цифра десятков $x$ не может быть нулём. Таким образом, $x$ является целым числом от 1 до 9: $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
• Цифра единиц $y$ может быть любым целым числом от 0 до 9: $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
• Число меньше 80, то есть $10x + y < 80$. Из этого следует, что цифра десятков $x$ не может быть 8 или 9. Следовательно, $x$ может принимать значения от 1 до 7: $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Таким образом, математическая модель задачи — это уравнение $10x + y = xy + 58$ при целочисленных ограничениях $1 \le x \le 7$ и $0 \le y \le 9$.

Решение методом перебора

Для решения задачи методом перебора преобразуем полученное уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую. Выразим $y$ через $x$:

$10x + y = xy + 58$
$y - xy = 58 - 10x$
$y(1 - x) = 58 - 10x$
$y = \frac{58 - 10x}{1 - x} = \frac{10x - 58}{x - 1}$

Чтобы упростить перебор, выделим целую часть в полученной дроби:

$y = \frac{10(x - 1) - 48}{x - 1} = \frac{10(x - 1)}{x - 1} - \frac{48}{x - 1} = 10 - \frac{48}{x - 1}$

Теперь будем подставлять возможные значения $x$ (от 1 до 7) и проверять, получается ли для $y$ целочисленное значение в диапазоне от 0 до 9. Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы $(x-1)$ был делителем числа 48.

• При $x=1$: знаменатель $x - 1 = 0$, что недопустимо.
• При $x=2$: $x-1=1$. Тогда $y = 10 - \frac{48}{1} = 10 - 48 = -38$. Не подходит, так как $y$ должен быть неотрицательной цифрой.
• При $x=3$: $x-1=2$. Тогда $y = 10 - \frac{48}{2} = 10 - 24 = -14$. Не подходит.
• При $x=4$: $x-1=3$. Тогда $y = 10 - \frac{48}{3} = 10 - 16 = -6$. Не подходит.
• При $x=5$: $x-1=4$. Тогда $y = 10 - \frac{48}{4} = 10 - 12 = -2$. Не подходит.
• При $x=6$: $x-1=5$. $48$ не делится на $5$ нацело, поэтому $y$ не будет целым числом.
• При $x=7$: $x-1=6$. Тогда $y = 10 - \frac{48}{6} = 10 - 8 = 2$. Значение $y=2$ подходит, так как это цифра от 0 до 9.

Таким образом, мы нашли единственную пару цифр, удовлетворяющую всем условиям: $x=7$ и $y=2$.

Искомое число: $10x + y = 10 \cdot 7 + 2 = 72$.

Проверим:

Число 72 меньше 80.

Произведение его цифр: $7 \cdot 2 = 14$.

Число 72 больше произведения своих цифр на $72 - 14 = 58$.

Все условия выполнены.

Ответ: 72