Номер 201, страница 53, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

201 A – множество делителей числа 16, а B – множество делителей числа 28.

а) Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок.

б) Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств А и В, найди их объединение и пересечение. Сделай записи, используя знаки $\cap$ и $\cup$.

в) $D = \{2, 4, 8\}$. Какие из высказываний верны:

$D \subset A$, $D \subset B$, $D \not\subset A$, $D \not\subset B?$

а)

Множество A – это множество делителей числа 16. Делитель – это число, на которое другое число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 16, мы должны найти все целые числа, которые делят 16.
$16 \div 1 = 16$
$16 \div 2 = 8$
$16 \div 4 = 4$
$16 \div 8 = 2$
$16 \div 16 = 1$
Следовательно, множество делителей числа 16: $A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$.

Множество B – это множество делителей числа 28. Найдем все делители числа 28.
$28 \div 1 = 28$
$28 \div 2 = 14$
$28 \div 4 = 7$
$28 \div 7 = 4$
$28 \div 14 = 2$
$28 \div 28 = 1$
Следовательно, множество делителей числа 28: $B = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.

Ответ: $A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$; $B = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.

б)

Для построения диаграммы Эйлера-Венна и нахождения объединения и пересечения множеств A и B, сначала определим эти операции.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
$A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$
$B = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$
Общие элементы для обоих множеств — это 1, 2, 4.
Таким образом, $A \cap B = \{1, 2, 4\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств (A или B), без повторений.
$A \cup B = \{1, 2, 4, 8, 16, 7, 14, 28\}$.
Запишем элементы в порядке возрастания: $A \cup B = \{1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28\}$.

Диаграмма Эйлера-Венна для множеств A и B выглядит следующим образом:

В области пересечения кругов находятся общие элементы $\{1, 2, 4\}$. В части круга A, не входящей в пересечение, — элементы $\{8, 16\}$. В части круга B, не входящей в пересечение, — элементы $\{7, 14, 28\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 4\}$; $A \cup B = \{1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28\}$.

в)

Дано множество $D = \{2, 4, 8\}$. Проверим истинность каждого из предложенных высказываний.

1. Проверка высказывания $D \subset A$:
Высказывание $D \subset A$ означает, что D является подмножеством A. Это верно, если каждый элемент множества D также является элементом множества A.
$D = \{2, 4, 8\}$ и $A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$.
- Элемент 2 принадлежит A.
- Элемент 4 принадлежит A.
- Элемент 8 принадлежит A.
Все элементы D содержатся в A. Значит, высказывание $D \subset A$ верно.

2. Проверка высказывания $D \subset B$:
Высказывание $D \subset B$ означает, что D является подмножеством B.
$D = \{2, 4, 8\}$ и $B = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.
- Элемент 2 принадлежит B.
- Элемент 4 принадлежит B.
- Элемент 8 не принадлежит B.
Так как не все элементы D содержатся в B, высказывание $D \subset B$ неверно.

3. Проверка высказывания $D \not\subset A$:
Высказывание $D \not\subset A$ означает, что D не является подмножеством A. Поскольку мы установили, что $D \subset A$ верно, это утверждение является его отрицанием и, следовательно, неверно.

4. Проверка высказывания $D \not\subset B$:
Высказывание $D \not\subset B$ означает, что D не является подмножеством B. Поскольку мы установили, что $D \subset B$ неверно, это утверждение верно.

Ответ: Верными являются высказывания $D \subset A$ и $D \not\subset B$.