Номер 273, страница 68, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

273 Докажи следующие утверждения.

1) Существует натуральное решение неравенства $x \le 2$.

2) Произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырёх.

3) Иногда сумма цифр двузначного числа больше их произведения.

4) Некоторые делители числа 18 являются также делителями числа 15.

5) Можно найти квадрат, площадь которого составляет 49 $м^2$.

6) Числа, кратные 5, не всегда кратны 10.

7) Существует число, 1% которого равен 8.

8) Некоторые дроби меньше чем $\frac{1}{5}$.

Что общего во всех этих высказываниях?

1) Существует натуральное решение неравенства $x \le 2$.

Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Необходимо найти хотя бы одно натуральное число $x$, удовлетворяющее неравенству $x \le 2$. Таким числом является $x=1$, так как 1 — это натуральное число и $1 \le 2$ — верное неравенство. Также подходит число $x=2$, так как 2 — натуральное число и $2 \le 2$. Для доказательства утверждения достаточно одного примера. Ответ: Утверждение доказано, например, число 1 является натуральным решением.

2) Произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырёх.

Возьмём два натуральных числа, например, 1 и 2. Их произведение равно $1 \times 2 = 2$. Так как $2 < 4$, мы нашли пример, подтверждающий данное утверждение. Другой пример: произведение натуральных чисел 1 и 3 равно $1 \times 3 = 3$, что также меньше четырёх. Ответ: Утверждение доказано, например, произведение чисел 1 и 2 равно 2, что меньше 4.

3) Иногда сумма цифр двузначного числа больше их произведения.

Рассмотрим двузначное число, например, 31. Его цифры — 3 и 1. Сумма этих цифр равна $3 + 1 = 4$. Произведение этих цифр равно $3 \times 1 = 3$. Так как $4 > 3$, сумма цифр числа 31 больше их произведения. Это доказывает утверждение. Ответ: Утверждение доказано, например, для числа 31 сумма цифр (4) больше их произведения (3).

4) Некоторые делители числа 18 являются также делителями числа 15.

Найдём все натуральные делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Найдём все натуральные делители числа 15: {1, 3, 5, 15}. Сравнив эти два множества, мы видим, что у них есть общие элементы — 1 и 3. Так как существуют общие делители (например, 3), утверждение верно. Ответ: Утверждение доказано, числа 1 и 3 являются общими делителями чисел 18 и 15.

5) Можно найти квадрат, площадь которого составляет 49 м².

Площадь квадрата ($S$) со стороной ($a$) вычисляется по формуле $S = a^2$. Нам нужно найти квадрат, для которого $S = 49 \text{ м}^2$. Это означает, что $a^2 = 49$. Решая это уравнение для положительной длины стороны $a$, получаем $a = \sqrt{49} = 7$ метров. Квадрат с такой стороной может существовать. Ответ: Утверждение доказано, это квадрат со стороной 7 м.

6) Числа, кратные 5, не всегда кратны 10.

Число кратно 5, если оно делится на 5 без остатка. Число кратно 10, если оно делится на 10 без остатка. Чтобы доказать это утверждение («не всегда»), достаточно найти одно число, которое кратно 5, но не кратно 10. Например, число 15. $15 \div 5 = 3$ (делится на 5), но $15 \div 10 = 1.5$ (не делится на 10 нацело). Ответ: Утверждение доказано, например, число 15 кратно 5, но не кратно 10.

7) Существует число, 1% которого равен 8.

Пусть искомое число — это $x$. Один процент от числа — это одна сотая его часть ($ \frac{1}{100} $). Таким образом, мы можем записать уравнение: $0.01 \times x = 8$. Чтобы найти $x$, нужно разделить 8 на 0.01: $x = \frac{8}{0.01} = 800$. Число 800 существует, и 1% от 800 действительно равен 8. Ответ: Утверждение доказано, это число 800.

8) Некоторые дроби меньше чем $\frac{1}{5}$.

Чтобы доказать это, достаточно привести пример такой дроби. Возьмём, например, дробь $\frac{1}{10}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{5}$, приведем их к общему знаменателю 10. Дробь $\frac{1}{5}$ равна $\frac{2}{10}$. Так как $1 < 2$, то $\frac{1}{10} < \frac{2}{10}$, следовательно, $\frac{1}{10} < \frac{1}{5}$. Ответ: Утверждение доказано, например, дробь $\frac{1}{10}$ меньше чем $\frac{1}{5}$.

Что общего во всех этих высказываниях?

Общим для всех этих высказываний является то, что все они являются утверждениями о существовании. Каждое из них утверждает, что существует хотя бы один математический объект (число, фигура, дробь), обладающий указанным свойством. Они не заявляют, что свойство выполняется для всех объектов данного типа. Для доказательства таких утверждений достаточно привести один конкретный пример. В математической логике для таких утверждений используется квантор существования (∃), который выражается словами «существует», «некоторые», «иногда», «может быть», «можно найти».