Номер 272, страница 68, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

272 Докажи, что существует такое натуральное число $x$, что:

1) $38x < 1569;$

2) $38x > 1569;$

3) $(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 60;$

4) $x(x + 1)(x + 2) = 210;$

5) $3x - 1 = 935;$

6) $5x + x = 1308.$

1)

Чтобы доказать существование такого натурального числа $x$, достаточно найти хотя бы один пример, удовлетворяющий неравенству $38x < 1569$. Возьмем самое простое натуральное число $x = 1$. Подставим его в неравенство: $38 \cdot 1 = 38$. Так как $38 < 1569$, неравенство выполняется. Следовательно, искомое натуральное число $x$ существует. Чтобы найти все такие числа, можно решить неравенство: $x < \frac{1569}{38}$, что примерно равно $x < 41.289...$. Таким образом, любое натуральное число от 1 до 41 будет решением.

Ответ: существует, например, $x = 1$.

2)

Рассмотрим неравенство $38x > 1569$. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 38: $x > \frac{1569}{38}$, или $x > 41.289...$. Нам нужно найти натуральное число $x$, которое больше этого значения. Ближайшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это $x = 42$. Проверим это: $38 \cdot 42 = 1596$. Так как $1596 > 1569$ — это верное неравенство, то натуральное число $x=42$ является решением. Следовательно, такое число существует.

Ответ: существует, например, $x = 42$.

3)

Дано уравнение $(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 60$. В левой части стоит произведение трех последовательных натуральных чисел (так как $x$ — натуральное). Можно найти решение подбором, проверяя небольшие натуральные значения $x$.

При $x = 1$: $(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Это не равно 60.

При $x = 2$: $(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3) = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Равенство выполняется.

Таким образом, мы нашли натуральное число $x = 2$, которое является решением уравнения.

Ответ: существует, $x = 2$.

4)

Дано уравнение $x(x + 1)(x + 2) = 210$. Здесь также ищется произведение трех последовательных натуральных чисел. Можно оценить, что $x$ должно быть близко к кубическому корню из 210. Так как $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$, попробуем $x=5$.

При $x = 5$: $5 \cdot (5 + 1) \cdot (5 + 2) = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$. Равенство выполняется.

Следовательно, мы нашли натуральное число $x = 5$, которое удовлетворяет уравнению.

Ответ: существует, $x = 5$.

5)

Рассмотрим уравнение $3x - 1 = 935$. Это линейное уравнение, которое можно решить, чтобы найти $x$.

Сначала прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$3x = 935 + 1$

$3x = 936$

Затем разделим обе части на 3:

$x = \frac{936}{3}$

$x = 312$

Поскольку 312 является натуральным числом, такое число $x$ существует.

Ответ: существует, $x = 312$.

6)

Рассмотрим уравнение $5x + x = 1308$. Сначала упростим левую часть:

$6x = 1308$

Теперь решим это линейное уравнение, разделив обе части на 6:

$x = \frac{1308}{6}$

$x = 218$

Поскольку 218 является натуральным числом, такое число $x$ существует.

Ответ: существует, $x = 218$.