Номер 281, страница 71, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

281 Докажи или опровергни следующие утверждения.

1) Все летние месяцы состоят из 31 дня.

2) Каждый звонкий согласный звук русского языка имеет парный глухой согласный звук.

3) При переводе в неправильную дробь любой смешанной дроби из множества $\left\{2 \frac{7}{8}, 4 \frac{11}{18}, 5 \frac{8}{15}, 13 \frac{5}{6}\right\}$ в числителе получается 83.

4) Все элементы множества $\left\{\frac{22}{9}, \frac{42}{19}, \frac{58}{27}, \frac{94}{23}\right\}$ удовлетворяют неравенству $2 \frac{4}{31} \leq x \leq 3 \frac{1}{9}$.

5) Уравнение $x(x - 5)(x - 7)(x + 11) = 0$ имеет натуральные корни.

6) Между числами 200 и 220 имеется 6 чисел, кратных 3.

7) В множестве чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей.

8) 49 шаров можно уложить в виде квадрата так, как показано на рисунке для 4, 9, 16 шаров.

9) 100 шаров можно уложить в виде равностороннего треугольника так, как показано на рисунке для 6, 10, 15 шаров.

1)

Летние месяцы — это июнь, июль и август. Июнь состоит из 30 дней, а июль и август — из 31 дня. Поскольку не все летние месяцы состоят из 31 дня (июнь — исключение), утверждение является ложным.
Ответ: утверждение ложно.

2)

В русском языке существуют звонкие согласные звуки, у которых нет парного глухого. Это сонорные согласные: [л], [м], [н], [р] и [й']. Например, для звука [л] нет парного глухого. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: утверждение ложно.

3)

Чтобы перевести смешанную дробь $a\frac{b}{c}$ в неправильную, нужно использовать формулу $\frac{a \cdot c + b}{c}$. Проверим каждое число из множества:
$2\frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{16 + 7}{8} = \frac{23}{8}$. Числитель равен 23, а не 83.
Поскольку для первого же элемента утверждение не выполняется, то и общее утверждение для всего множества ложно. Хотя для остальных элементов оно выполняется:
$4\frac{11}{18} = \frac{4 \cdot 18 + 11}{18} = \frac{72 + 11}{18} = \frac{83}{18}$.
$5\frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{75 + 8}{15} = \frac{83}{15}$.
$13\frac{5}{6} = \frac{13 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{78 + 5}{6} = \frac{83}{6}$.
Ответ: утверждение ложно.

4)

Проверим, удовлетворяют ли все элементы множества $\{\frac{22}{9}, \frac{42}{19}, \frac{58}{27}, \frac{94}{23}\}$ неравенству $2\frac{4}{31} \le x \le 3\frac{1}{9}$.
Представим границы неравенства в виде десятичных дробей: $2\frac{4}{31} = \frac{66}{31} \approx 2.129$ и $3\frac{1}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.111$.
Теперь проверим каждый элемент:
$x_1 = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444$. $2.129 \le 2.444 \le 3.111$. Верно.
$x_2 = \frac{42}{19} = 2\frac{4}{19} \approx 2.21$. $2.129 \le 2.21 \le 3.111$. Верно.
$x_3 = \frac{58}{27} = 2\frac{4}{27} \approx 2.148$. $2.129 \le 2.148 \le 3.111$. Верно.
$x_4 = \frac{94}{23} = 4\frac{2}{23} \approx 4.087$. $4.087 > 3.111$. Неверно.
Поскольку не все элементы множества удовлетворяют неравенству, утверждение ложно.
Ответ: утверждение ложно.

5)

Уравнение $x(x-5)(x-7)(x+11) = 0$ решается приравниванием каждого множителя к нулю.
$x = 0$
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x - 7 = 0 \implies x = 7$
$x + 11 = 0 \implies x = -11$
Корни уравнения: $\{-11, 0, 5, 7\}$. Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Среди корней есть натуральные числа 5 и 7. Утверждение гласит, что уравнение "имеет" натуральные корни, а не что "все корни натуральные". Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

6)

Найдём числа, кратные 3, в интервале $(200, 220)$.
Первое число, кратное 3, большее 200, это 201 ($2+0+1=3$, делится на 3).
Последнее число, кратное 3, меньшее 220, это 219 ($2+1+9=12$, делится на 3).
Все такие числа: 201, 204, 207, 210, 213, 216, 219.
Всего их 7, а не 6.
Ответ: утверждение ложно.

7)

Число имеет больше двух делителей, если оно не является простым и не равно 1. Простые числа имеют ровно два делителя: 1 и само себя. Нам нужно проверить, есть ли в множестве чисел от 40 до 50 (включая концы) простые числа.
Множество чисел: {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50}.
Проверим числа на простоту:
41 — простое число (делители 1 и 41).
43 — простое число (делители 1 и 43).
47 — простое число (делители 1 и 47).
Поскольку в множестве есть числа, имеющие ровно два делителя, утверждение о том, что *каждое* число имеет *больше* двух делителей, является ложным.
Ответ: утверждение ложно.

8)

Уложить шары в виде квадрата означает, что их количество должно быть полным квадратом, то есть числом вида $n^2$, где $n$ — количество шаров в стороне квадрата. Примеры на рисунке: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$.
Нужно проверить, является ли 49 полным квадратом.
$49 = 7 \cdot 7 = 7^2$.
Да, 49 — это полный квадрат. Значит, 49 шаров можно уложить в квадрат со стороной 7 шаров.
Ответ: утверждение верно.

9)

Числа шаров, которые можно уложить в виде равностороннего треугольника, называются треугольными числами. Они вычисляются по формуле $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$, где $n$ — количество рядов. Примеры на рисунке: $6=T_3$, $10=T_4$, $15=T_5$.
Нужно проверить, является ли 100 треугольным числом. То есть, существует ли натуральное число $n$ такое, что $\frac{n(n+1)}{2} = 100$.
$n(n+1) = 200$.
Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 200.
$13 \cdot 14 = 182$.
$14 \cdot 15 = 210$.
Поскольку $182 < 200 < 210$, не существует такого целого числа $n$, для которого $n(n+1)=200$. Следовательно, 100 не является треугольным числом.
Ответ: утверждение ложно.