Номер 284, страница 71, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

284 По конституции Федерации Бусирия каждая из входящих в её состав 12 республик должна иметь свой, отличный от других флаг, состоящий из трёх продольных или трёх поперечных полос различных цветов – красного, жёлтого или синего. Может ли тринадцатая республика войти в состав Федерации?

БУСИРИЯ

13

Чтобы определить, может ли тринадцатая республика войти в состав федерации, необходимо вычислить максимально возможное количество уникальных флагов, которые можно создать согласно конституции Бусирии.

Условия для создания флага:

• Флаг состоит из трёх полос.
• Полосы могут быть либо продольными (вертикальными), либо поперечными (горизонтальными).
• Используются три цвета: красный, жёлтый, синий.
• Все три полосы на одном флаге должны быть различных цветов.

Поскольку на флаге три полосы и все они должны быть разных цветов, каждый флаг будет использовать все три доступных цвета. Задача сводится к подсчёту количества различных способов расположения этих трёх цветов. Это задача на перестановки.

1. Расчет количества флагов с поперечными (горизонтальными) полосами.
Нам нужно расположить 3 различных цвета (красный, жёлтый, синий) на 3 позициях (верхняя, средняя, нижняя полоса). Количество способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=3$, поэтому количество вариантов для флагов с горизонтальными полосами равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Таким образом, существует 6 уникальных флагов с горизонтальными полосами.

2. Расчет количества флагов с продольными (вертикальными) полосами.
Аналогично, для флагов с тремя вертикальными полосами количество вариантов расположения трёх разных цветов также будет равно $3!$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Следовательно, существует еще 6 уникальных флагов с вертикальными полосами.

3. Общее количество возможных флагов.
Общее количество уникальных флагов, которые можно создать, равно сумме вариантов для флагов с горизонтальными и вертикальными полосами:
$6 (\text{горизонтальных}) + 6 (\text{вертикальных}) = 12$
Всего можно создать 12 различных флагов.

В Федерации Бусирия уже есть 12 республик, и по конституции каждая из них должна иметь свой собственный, отличный от других флаг. Это означает, что все 12 возможных вариантов флагов уже используются существующими республиками. Для тринадцатой республики не остаётся ни одного свободного уникального дизайна флага, который бы соответствовал требованиям конституции.

Ответ: Нет, тринадцатая республика не может войти в состав Федерации, так как невозможно создать для неё новый, уникальный флаг, соответствующий конституционным требованиям.