Номер 282, страница 71, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

282 Придумай высказывание общего вида об элементах конечного множества.

Докажи или опровергни его методом перебора.

Высказывание общего вида об элементах конечного множества

Рассмотрим конечное множество $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Сформулируем следующее высказывание общего вида: "Для любого элемента $x$ из множества $A$ верно неравенство $x^2 - 4x \le 0$".

Доказательство методом перебора

Чтобы доказать это высказывание, необходимо проверить его истинность для каждого элемента множества $A$. Метод, при котором мы проверяем утверждение для всех без исключения элементов конечного множества, называется методом перебора (или методом исчерпывающих случаев).

Проверим утверждение для каждого элемента из $A$:

1. Для элемента $x=0$:
Подставляем значение в неравенство: $0^2 - 4 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Получаем $0 \le 0$. Это верное неравенство.

2. Для элемента $x=1$:
Подставляем значение в неравенство: $1^2 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Получаем $-3 \le 0$. Это верное неравенство.

3. Для элемента $x=2$:
Подставляем значение в неравенство: $2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Получаем $-4 \le 0$. Это верное неравенство.

4. Для элемента $x=3$:
Подставляем значение в неравенство: $3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Получаем $-3 \le 0$. Это верное неравенство.

5. Для элемента $x=4$:
Подставляем значение в неравенство: $4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.
Получаем $0 \le 0$. Это верное неравенство.

Мы проверили все элементы множества $A$ и для каждого из них неравенство оказалось верным. Таким образом, исходное высказывание доказано методом полного перебора.

Ответ: Высказывание "Для любого элемента $x$ из множества $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ верно неравенство $x^2 - 4x \le 0$" является истинным, что и доказано методом перебора.