Номер 287, страница 72, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

287 Почему при делении с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей? Выполни деление и сделай проверку.

1) $160 : 30;$

2) $2700 : 400;$

3) $58000 : 7000;$

4) $200000 : 40000.$

При делении с остатком отбрасывать одинаковое число нулей в делимом и делителе нельзя, потому что это приводит к неверному остатку. Отбрасывание нулей — это то же самое, что и деление делимого и делителя на одно и то же число ($10, 100, 1000$ и т.д.).

Основное правило деления с остатком выражается формулой: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток (причем остаток всегда должен быть меньше делителя, $0 \le r < b$).

Когда мы отбрасываем нули (делим на $k$), неполное частное $q$ не меняется, но остаток уменьшается в $k$ раз. То есть, если мы получили остаток $r_{new}$ после деления чисел с отброшенными нулями, то для получения правильного остатка $r$ для исходного примера, нужно $r_{new}$ умножить на $k$: $r = r_{new} \cdot k$. Если этого не сделать, проверка не сойдется.

1) 160 : 30

Выполним деление с остатком. $160$ делим на $30$. Неполное частное равно $5$, так как $30 \cdot 5 = 150$. Остаток равен $160 - 150 = 10$.

Таким образом, $160 : 30 = 5$ (ост. $10$).

Проверка: $30 \cdot 5 + 10 = 150 + 10 = 160$. Верно.

Для сравнения: если отбросить нули, получим $16:3$. Неполное частное будет $5$, а остаток $1$. Если использовать его для проверки: $30 \cdot 5 + 1 = 151 \ne 160$. Правильный остаток получается умножением нового остатка ($1$) на $10$: $1 \cdot 10 = 10$.

Ответ: $160 : 30 = 5$ (ост. $10$).

2) 2700 : 400

Выполним деление с остатком. $2700$ делим на $400$. Неполное частное равно $6$, так как $400 \cdot 6 = 2400$. Остаток равен $2700 - 2400 = 300$.

Таким образом, $2700 : 400 = 6$ (ост. $300$).

Проверка: $400 \cdot 6 + 300 = 2400 + 300 = 2700$. Верно.

Для сравнения: если отбросить два нуля, получим $27:4$. Неполное частное будет $6$, а остаток $3$. Чтобы получить верный остаток, его нужно умножить на $100$: $3 \cdot 100 = 300$.

Ответ: $2700 : 400 = 6$ (ост. $300$).

3) 58 000 : 7000

Выполним деление с остатком. $58\;000$ делим на $7000$. Неполное частное равно $8$, так как $7000 \cdot 8 = 56\;000$. Остаток равен $58\;000 - 56\;000 = 2000$.

Таким образом, $58\;000 : 7000 = 8$ (ост. $2000$).

Проверка: $7000 \cdot 8 + 2000 = 56\;000 + 2000 = 58\;000$. Верно.

Для сравнения: если отбросить три нуля, получим $58:7$. Неполное частное будет $8$, а остаток $2$. Чтобы получить верный остаток, его нужно умножить на $1000$: $2 \cdot 1000 = 2000$.

Ответ: $58\;000 : 7000 = 8$ (ост. $2000$).

4) 200 000 : 40 000

Выполним деление. Число $200\;000$ делится на $40\;000$ нацело.

$200\;000 : 40\;000 = 5$. Остаток равен $0$.

Таким образом, $200\;000 : 40\;000 = 5$ (ост. $0$).

Проверка: $40\;000 \cdot 5 + 0 = 200\;000$. Верно.

В этом частном случае, когда остаток равен нулю, отбрасывание нулей ($20:4=5$, ост. $0$) дает верный результат, так как $0$, умноженный на любое число (здесь на $10\;000$), все равно останется нулем.

Ответ: $200\;000 : 40\;000 = 5$ (ост. $0$).