Номер 324, страница 81, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

324 Нарисуй координатный угол и построй точки A $(7; 6)$, B $(1; 2)$, C $(5; 10)$ и D $(15; 6)$.

1) Проведи луч $BA$ и отрезок $CD$ и определи координаты их точки пересечения.

2) Измерь с помощью транспортира углы, образованные этими отрезком и лучом. Сколько углов достаточно измерить?

1)

Сначала построим точки A(7; 6), B(1; 2), C(5; 10) и D(15; 6) в прямоугольной системе координат. Затем проведем луч BA, который начинается в точке B и проходит через точку A, и отрезок CD, соединяющий точки C и D.

Ниже представлено графическое построение.

Для определения координат точки пересечения аналитическим методом, найдем уравнения прямых, на которых лежат луч BA и отрезок CD. Пусть точка пересечения - E.

Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле $y - y_1 = m(x - x_1)$, где $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ - угловой коэффициент.

Для прямой BA с точками B(1; 2) и A(7; 6) угловой коэффициент $m_{BA} = \frac{6 - 2}{7 - 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Уравнение прямой: $y - 2 = \frac{2}{3}(x - 1)$, или $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$.

Для прямой CD с точками C(5; 10) и D(15; 6) угловой коэффициент $m_{CD} = \frac{6 - 10}{15 - 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$. Уравнение прямой: $y - 10 = -\frac{2}{5}(x - 5)$, или $y = -\frac{2}{5}x + 12$.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для $y$:

$\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} = -\frac{2}{5}x + 12$

Умножим обе части на 15, чтобы избавиться от дробей:

$10x + 20 = -6x + 180$

$16x = 160$

$x = 10$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 10$ в любое из уравнений: $y = -\frac{2}{5}(10) + 12 = -4 + 12 = 8$.

Таким образом, точка пересечения E имеет координаты (10; 8). Эта точка лежит на луче BA (т.к. ее x-координата больше x-координаты B) и на отрезке CD (т.к. ее координаты находятся между координатами C и D).

Ответ: Координаты точки пересечения (10; 8).

2)

При пересечении луча BA и отрезка CD в точке E образуются четыре угла. Измерив их с помощью транспортира на чертеже, мы получим два равных острых угла и два равных тупых угла. Острый угол составляет примерно $55.5^\circ$, а тупой — примерно $124.5^\circ$.

При пересечении двух прямых всегда образуются две пары равных (вертикальных) углов, а сумма смежных углов равна $180^\circ$. Это означает, что если мы измерим величину хотя бы одного из углов, мы сможем определить все остальные. Например, если мы измерим один угол $\alpha$, то вертикальный ему угол также будет равен $\alpha$, а два смежных с ним угла будут равны $180^\circ - \alpha$.

Следовательно, для нахождения всех четырех углов достаточно измерить только один угол.

Ответ: При измерении образуются два угла примерно по $55.5^\circ$ и два угла примерно по $124.5^\circ$. Достаточно измерить один угол.