Номер 326, страница 81, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

326 Рассмотри графики движения двух объектов и определи по ним для каждого объекта:

1) время начала и направление движения;

2) количество и продолжительность остановок;

3) скорость движения на всех участках пути;

4) время и место встречи с другим объектом;

5) время прибытия в пункт назначения.

$S$ км

180

Деревня

135

90

45

0

Город

8⁰⁰

9⁰⁰

10⁰⁰

11⁰⁰

12⁰⁰

13⁰⁰

14⁰⁰ $t$ ч

Объект 1 (движение из Города в Деревню, сплошная линия)

1) время начала и направление движения;
Анализируя сплошную линию на графике, видим, что движение начинается в точке (8:00, 0 км). Так как начальное расстояние от Города равно нулю, а затем оно увеличивается, объект движется из Города в направлении Деревни.
Ответ: начало движения в 8:00, направление – из Города в Деревню.

2) количество и продолжительность остановок;
Остановкам соответствуют горизонтальные участки на графике, где время идет, а расстояние не меняется. Таких участков два.
Первая остановка: с 9:00 до 9:30 на расстоянии 90 км от Города. Продолжительность: $9:30 - 9:00 = 30$ минут.
Вторая остановка: с 10:30 до 11:30 на расстоянии 150 км от Города. Продолжительность: $11:30 - 10:30 = 1$ час.
Ответ: 2 остановки, продолжительностью 30 минут и 1 час.

3) скорость движения на всех участках пути;
Скорость $v$ на каждом участке вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ – пройденный путь, а $\Delta t$ – время в пути.
1. Участок с 8:00 до 9:00: $v_1 = \frac{90 \text{ км} - 0 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч}$.
2. Участок с 9:00 до 9:30: остановка, $v_2 = 0 \text{ км/ч}$.
3. Участок с 9:30 до 10:30: $v_3 = \frac{150 \text{ км} - 90 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.
4. Участок с 10:30 до 11:30: остановка, $v_4 = 0 \text{ км/ч}$.
5. Участок с 11:30 до 12:00: $v_5 = \frac{180 \text{ км} - 150 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.
Ответ: на первом участке скорость 90 км/ч, на третьем и пятом – 60 км/ч, на втором и четвертом – 0 км/ч (остановки).

4) время и место встречи с другим объектом;
Встреча происходит в точке пересечения двух графиков. Найдем точные координаты этой точки.

Уравнение движения первого объекта на участке с 9:30 ($t=9.5$ ч) до 10:30 ($t=10.5$ ч): $S_1(t) = 90 + 60 \cdot (t - 9.5)$.

Уравнение движения второго объекта (скорость $v_2 = \frac{180 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 36 \text{ км/ч}$): $S_2(t) = 180 - 36 \cdot (t - 8)$.

В момент встречи $S_1(t) = S_2(t)$:

$90 + 60t - 570 = 180 - 36t + 288$

$60t - 480 = 468 - 36t$

$96t = 948$

$t = \frac{948}{96} = 9.875$ часа.

Переведем $0.875$ часа в минуты: $0.875 \cdot 60 = 52.5$ минуты, что равно 52 минутам и 30 секундам. Время встречи: 9:52:30.

Найдем место встречи, подставив $t$ в одно из уравнений:

$S = 180 - 36 \cdot (9.875 - 8) = 180 - 36 \cdot 1.875 = 180 - 67.5 = 112.5$ км.
Ответ: встреча произошла в 9:52:30 на расстоянии 112,5 км от Города.

5) время прибытия в пункт назначения.
Пункт назначения – Деревня, находящаяся на расстоянии 180 км от Города. График достигает отметки $S=180$ км в 12:00.
Ответ: 12:00.

Объект 2 (движение из Деревни в Город, пунктирная линия)

1) время начала и направление движения;
Анализируя пунктирную линию на графике, видим, что движение начинается в точке (8:00, 180 км). Так как начальное расстояние – это положение Деревни, а затем оно уменьшается до нуля, объект движется из Деревни в Город.
Ответ: начало движения в 8:00, направление – из Деревни в Город.

2) количество и продолжительность остановок;
График движения второго объекта – это прямая линия без горизонтальных участков. Это означает, что объект двигался без остановок.
Ответ: 0 остановок.

3) скорость движения на всех участках пути;
Объект движется с постоянной скоростью на всем протяжении пути. Время в пути: $13:00 - 8:00 = 5$ часов. Пройденный путь: $180$ км.

$v = \frac{180 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 36 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость на всем пути 36 км/ч.

4) время и место встречи с другим объектом;
Время и место встречи для второго объекта те же, что и для первого, так как это одно и то же событие. Данные были рассчитаны при анализе движения первого объекта.
Ответ: встреча произошла в 9:52:30 на расстоянии 112,5 км от Города.

5) время прибытия в пункт назначения.
Пункт назначения – Город, находящийся на расстоянии 0 км. График достигает отметки $S=0$ км в 13:00.
Ответ: 13:00.