Номер 325, страница 81, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

325 Какой треугольник называют прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? Как найти его площадь? Найди площадь фигур.

1) Треугольник ABC с прямым углом при вершине B. Сторона AB = $5 \text{ дм}$. Сторона BC = $4 \text{ дм}$.

2) Треугольник ABC. Высота BD перпендикулярна основанию AC. Высота BD = $3 \text{ см}$. Отрезок AD = $2 \text{ см}$. Отрезок DC = $6 \text{ см}$.

3) Четырехугольник KMTN. Высота $7 \text{ м}$. Отрезки на нижней стороне: KE = $2 \text{ м}$, EF = $3 \text{ м}$, FT = $4 \text{ м}$.

Треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°), называется прямоугольным.

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если катеты равны $a$ и $b$, то площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$. В общем случае площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию: $S = \frac{1}{2}ah$.

1)

На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B — прямой. Стороны, образующие прямой угол (катеты), равны $AB = 5$ дм и $BC = 4$ дм. Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно найти половину произведения его катетов.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ дм}^2 = 10 \text{ дм}^2$.
Ответ: 10 дм².

2)

На рисунке 2 изображен треугольник ABC. К основанию AC проведена высота BD. Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на длину высоты.
Основание AC состоит из двух отрезков AD и DC. Найдем его длину:
$AC = AD + DC = 2 \text{ см} + 6 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Высота, проведенная к этому основанию, равна $BD = 3$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Ответ: 12 см².

3)

Фигура на рисунке 3 является трапецией KMNT. Ее площадь можно найти, разделив ее на три более простые фигуры: прямоугольный треугольник KME, прямоугольник MEFN и прямоугольный треугольник NFT. Общая площадь будет равна сумме площадей этих трех фигур.
1. Найдем площадь прямоугольного треугольника KME. Его катеты равны $KE = 2$ м и $ME = 7$ м.
$S_{KME} = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot ME = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 7 \text{ м}^2$.
2. Найдем площадь прямоугольника MEFN. Его стороны равны $EF = 3$ м и $ME = 7$ м.
$S_{MEFN} = EF \cdot ME = 3 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$.
3. Найдем площадь прямоугольного треугольника NFT. Его катеты равны $FT = 4$ м и $NF = 7$ м (поскольку MEFN — прямоугольник, то $NF = ME$).
$S_{NFT} = \frac{1}{2} \cdot FT \cdot NF = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 2 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 14 \text{ м}^2$.
4. Сложим площади всех трех фигур, чтобы найти общую площадь трапеции:
$S_{KMNT} = S_{KME} + S_{MEFN} + S_{NFT} = 7 \text{ м}^2 + 21 \text{ м}^2 + 14 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2$.
Ответ: 42 м².