Номер 327, страница 82, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

327 Начерти два смежных угла. Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину угла, образованного биссектрисами. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли считать, что замеченная закономерность этим уже доказана?

Для выполнения этого задания, проведем мысленный эксперимент, который можно повторить с помощью линейки и транспортира.

1. Начертим прямую линию $AB$ и отметим на ней точку $O$.

2. Проведем из точки $O$ луч $OC$, который не совпадает с лучами $OA$ и $OB$. В результате мы получим два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$: $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

3. Теперь проведем эксперименты, выбирая разные значения для углов.

Эксперимент 1:

Пусть $\angle AOC = 40^\circ$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
Построим биссектрису $OD$ угла $\angle AOC$. Угол $\angle DOC$ будет равен $40^\circ / 2 = 20^\circ$.
Построим биссектрису $OE$ угла $\angle BOC$. Угол $\angle COE$ будет равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$.
Угол, образованный биссектрисами, $\angle DOE$, равен сумме углов $\angle DOC$ и $\angle COE$:
$\angle DOE = \angle DOC + \angle COE = 20^\circ + 70^\circ = 90^\circ$.

Эксперимент 2:

Пусть $\angle AOC = 90^\circ$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Биссектриса $OD$ угла $\angle AOC$ образует угол $\angle DOC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Биссектриса $OE$ угла $\angle BOC$ образует угол $\angle COE = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Угол между биссектрисами $\angle DOE = \angle DOC + \angle COE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Эксперимент 3:

Пусть $\angle AOC = 126^\circ$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.
Биссектриса $OD$ угла $\angle AOC$ образует угол $\angle DOC = 126^\circ / 2 = 63^\circ$.
Биссектриса $OE$ угла $\angle BOC$ образует угол $\angle COE = 54^\circ / 2 = 27^\circ$.
Угол между биссектрисами $\angle DOE = \angle DOC + \angle COE = 63^\circ + 27^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Во всех трех экспериментах величина угла, образованного биссектрисами, равна $90^\circ$.

Что ты замечаешь?

Я замечаю, что независимо от того, какие были выбраны первоначальные смежные углы, угол между их биссектрисами во всех случаях получается равным $90^\circ$. Это постоянная величина.

Ответ: Угол, образованный биссектрисами смежных углов, всегда равен $90^\circ$.

Можно ли считать, что замеченная закономерность этим уже доказана?

Нет, считать закономерность доказанной на основе нескольких экспериментов нельзя. Эксперимент, даже повторенный много раз, показывает, что утверждение верно лишь для рассмотренных частных случаев. Он позволяет выдвинуть гипотезу (научное предположение), но не является строгим математическим доказательством, которое должно охватывать все возможные случаи.

Чтобы доказать эту закономерность, нужно провести рассуждение в общем виде.

Доказательство:
Пусть $\angle AOC$ и $\angle BOC$ — два произвольных смежных угла. Обозначим их величины как $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

По определению смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta = 180^\circ$.
Пусть луч $OD$ — биссектриса угла $\angle AOC$, а луч $OE$ — биссектриса угла $\angle BOC$.
По определению биссектрисы, $\angle DOC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle COE = \frac{\beta}{2}$.
Угол, образованный биссектрисами, $\angle DOE$, является суммой углов $\angle DOC$ и $\angle COE$:
$\angle DOE = \angle DOC + \angle COE = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle DOE = \frac{1}{2}(\alpha + \beta)$.
Так как мы знаем, что $\alpha + \beta = 180^\circ$, подставим это значение в формулу:
$\angle DOE = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Это доказательство справедливо для любой пары смежных углов, а не только для тех, что были выбраны в эксперименте. Таким образом, мы доказали, что угол между биссектрисами смежных углов всегда равен $90^\circ$.

Ответ: Нет, нельзя. Эксперимент лишь позволяет выдвинуть гипотезу, но не является доказательством. Для доказательства требуется обобщенное математическое рассуждение, которое показывает справедливость утверждения для всех возможных случаев.