Номер 331, страница 82, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

331 Докажи утверждения.

1) Если каждое из двух чисел делится на 8, то и их сумма делится на 8.

2) Если одно из двух чисел делится на 3, то и их произведение делится на 3.

3) Каждое натуральное число, кроме 1, в два раза меньше суммы соседних с ним чисел.

1) Если каждое из двух чисел делится на 8, то и их сумма делится на 8.
Пусть даны два числа, $a$ и $b$.
По условию, каждое из них делится на 8. Это значит, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что:
$a = 8 \cdot k$
$b = 8 \cdot m$
Найдем сумму этих чисел:
$a + b = 8k + 8m$
Применяя распределительное свойство умножения, вынесем общий множитель 8 за скобки:
$a + b = 8(k + m)$
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Пусть $p = k + m$.
Тогда мы можем записать сумму как $a + b = 8p$.
Это выражение по определению означает, что сумма $a + b$ делится на 8 без остатка. Утверждение доказано.
Ответ: утверждение доказано.

2) Если одно из двух чисел делится на 3, то и их произведение делится на 3.
Пусть даны два числа, $a$ и $b$.
По условию, одно из них делится на 3. Без ограничения общности, предположим, что число $a$ делится на 3. Это значит, что существует такое целое число $k$, что:
$a = 3 \cdot k$
Найдем произведение чисел $a$ и $b$:
$a \cdot b = (3k) \cdot b$
Используя сочетательное свойство умножения, перегруппируем множители:
$a \cdot b = 3 \cdot (k \cdot b)$
Поскольку $k$ и $b$ — целые числа, их произведение $(k \cdot b)$ также является целым числом. Пусть $q = k \cdot b$.
Тогда мы можем записать произведение как $a \cdot b = 3q$.
Это выражение по определению означает, что произведение $a \cdot b$ делится на 3 без остатка. Утверждение доказано.
Ответ: утверждение доказано.

3) Каждое натуральное число, кроме 1, в два раза меньше суммы соседних с ним чисел.
Пусть $n$ — произвольное натуральное число, такое что $n > 1$.
Соседними числами для $n$ являются число, предшествующее ему, и число, следующее за ним.
Предыдущее число: $n - 1$.
Следующее число: $n + 1$.
Поскольку $n > 1$, число $n-1$ также является натуральным ($n-1 \ge 1$).
Найдем сумму этих соседних чисел:
Сумма = $(n - 1) + (n + 1) = n - 1 + n + 1 = 2n$.
В утверждении говорится, что число $n$ "в два раза меньше суммы соседних с ним чисел". Это равносильно тому, что сумма соседних чисел в два раза больше числа $n$, или что половина этой суммы равна $n$.
Проверим это, разделив сумму на 2:
$\frac{\text{Сумма}}{2} = \frac{2n}{2} = n$
Результат деления действительно равен исходному числу $n$. Следовательно, утверждение верно для любого натурального числа $n$, большего 1.
(Число 1 исключается, так как в множестве натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$ у него нет предшествующего натурального числа, то есть только один "сосед" — число 2).
Ответ: утверждение доказано.