Номер 33, страница 9, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 33 В некотором царстве, в некотором государстве, за синими морями, за высокими горами жил-поживал смышлёный парнишка Басик. Закончил Басик начальную школу и перешёл в 5 класс. Пришлось в пути ему много преград преодолеть, много трудностей испытать.

1) Нужно было Басику перебраться через топкое болото. Перейти его можно только по кочкам, двигаясь по схеме вправо $\rightarrow$ и вверх $\uparrow$ (влево и вниз идти нельзя). Сколькими способами можно пройти через это болото?

9 5 2 4

12 10 3 11

8 2 6 16

7 1 8 3

Каким маршрутом двигался Басик, если, прыгая по кочкам, он между делом собирал морошку и набрал 40 ягодок? (Цифрами обозначено количество ягод на каждой кочке.)

2) Повстречал Басик на пути четверых братьев-бездельников, тех, что, лёжа на солнышке, любят прохожим путникам советы давать. Второй брат дал Басику вдвое больше советов, чем первый, третий — втрое больше, чем второй, четвёртый – вчетверо больше, чем третий, а все вместе братья-бездельники дали Басику 132 бесполезных совета. Сколько советов дал первый брат?

3) Побывал Басик у Бабы-яги. Говорила она, что не выберется Басик из её избушки, потому что поставила она на дверь замок кодовый. Нужно набрать на замке девять разных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) так, чтобы были верны получившиеся равенства:

$\Box \Box : \Box = \Box - \Box = 3 + \Box = 1 \cdot \Box$

Басик только знал, где стоят цифры 1 и 3, но сумел-таки открыть замок! Как он расставил остальные цифры?

4) Взял Басик с собой в путь-дорогу свою любимую игру «Пентамино». Двенадцать пентамино лежали у Басика в прямоугольной коробке. Но однажды в дороге коробка упала, фигурки высыпались. Хорошо, что Басик на дне коробки нарисовал звёздочки. Каким способом можно уложить в коробку все 12 фигурок, если каждую звёздочку закрывает ровно одно пентамино?

1)

Задача состоит из двух частей: найти общее количество способов перебраться через болото и найти конкретный маршрут, на котором Басик наберет 40 ягодок.

Сколькими способами можно пройти через это болото?
Чтобы добраться из левого нижнего угла в правый верхний, Басику нужно сделать 3 шага вверх (В) и 3 шага вправо (П). Общее количество шагов равно $3 + 3 = 6$. Количество возможных маршрутов равно числу способов выбрать 3 шага вверх (или 3 шага вправо) из 6 общих шагов. Это можно рассчитать с помощью комбинаторной формулы числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20$
Таким образом, существует 20 различных способов пройти через болото.

Каким маршрутом двигался Басик, если набрал 40 ягодок?
Нужно найти путь из 7 кочек (включая начальную и конечную), сумма ягод на которых равна 40. Путь должен состоять только из движений вверх и вправо. Последовательно проверяя возможные маршруты, можно найти нужный.
Маршрут, дающий в сумме 40 ягодок, следующий:

$7 \rightarrow 1 \rightarrow 8 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 11 \rightarrow 4$
Сумма ягод на этом пути: $7 + 1 + 8 + 6 + 3 + 11 + 4 = 40$.
Этот маршрут соответствует последовательности ходов: Вправо, Вправо, Вверх, Вверх, Вправо, Вверх.

Ответ: Пройти через болото можно 20 способами. Чтобы набрать 40 ягодок, Басик двигался по маршруту с кочками: 7, 1, 8, 6, 3, 11, 4.

2)

Пусть $x$ — количество советов, которые дал первый брат.
Тогда второй брат дал вдвое больше, то есть $2x$ советов.
Третий брат дал втрое больше, чем второй, то есть $3 \cdot (2x) = 6x$ советов.
Четвёртый брат дал вчетверо больше, чем третий, то есть $4 \cdot (6x) = 24x$ советов.
Все вместе они дали 132 совета. Составим уравнение:
$x + 2x + 6x + 24x = 132$
$33x = 132$
$x = \frac{132}{33}$
$x = 4$
Таким образом, первый брат дал 4 совета.

Ответ: Первый брат дал 4 совета.

3)

В этой задаче нужно расставить 9 разных цифр от 1 до 9 в пустые ячейки так, чтобы получились верные равенства. Цифры 1 и 3 уже использованы в записи самих равенств.
Запишем цепочку равенств, обозначив общую итоговую величину как $R$:
$[?][?] : [?] = [?] - [?] = 3 + [?] = 1[?] = R$
На первый взгляд, задача не имеет решения. Рассмотрим два крайних выражения:

• Выражение $[?] - [?]$: Максимальное значение, которое можно получить, вычитая одну цифру из другой — это $9 - 1 = 8$. Значит, $R \le 8$.
• Выражение $1[?]$: Это двузначное число, начинающееся с 1. Так как все цифры разные, и 1 уже использована, вторая цифра не может быть 1. Минимальное такое число — 12 (если вторая цифра 2). Значит, $R \ge 12$.

Получается противоречие: $R$ не может быть одновременно меньше или равно 8 и больше или равно 12. Это означает, что одно из выражений нужно трактовать небуквально. Вероятно, в задаче есть "хитрость".
Предположим, что запись $1[?]$ означает не двузначное число, а умножение: $1 \times [?]$. Тогда все равенства могут быть верными.
Пусть $R$ — общий результат. Тогда:
$R = 3 + x_1$
$R = 1 \times x_2 = x_2$
Подставив второе в первое, получаем: $x_2 = 3 + x_1$.
Используемые цифры — это {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Цифры 1 и 3 уже "заняты" в структуре уравнений. Остаются {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Подбирая пары $x_1$ и $x_2$ из оставшихся цифр, можно найти, что при $R=7$ решение существует:

• $3 + [4] = 7$. (Использована цифра 4).
• $1 \times [7] = 7$. (Использована цифра 7).
• $[9] - [2] = 7$. (Использованы цифры 9 и 2).
• $[5][6] : [8] = 56 : 8 = 7$. (Использованы цифры 5, 6, 8).

Все использованные цифры {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} различны. Таким образом, Басик расставил цифры следующим образом:
$56 : 8 = 9 - 2 = 3 + 4 = 1 \times 7$

Ответ: $56 : 8 = 9 - 2 = 3 + 4 = 1 \times 7$.

4)

Эта задача — головоломка на укладку пентамино. Пентамино — это фигурки, состоящие из пяти одинаковых квадратов, соединённых сторонами. Всего существует 12 различных фигурок пентамино.
Цель — уложить все 12 фигурок в прямоугольную коробку размером 6x10 клеток. Общая площадь коробки ($6 \times 10 = 60$ клеток) равна общей площади всех 12 фигурок ($12 \times 5 = 60$ клеток), так что укладка возможна без пробелов и наложений.
Дополнительное условие: на дне коробки нарисованы 12 звёздочек. Каждую звёздочку должна закрывать ровно одна фигурка пентамино. Это условие означает, что ни одна звёздочка не может остаться непокрытой или быть накрыта двумя фигурками. При этом одна фигурка может накрывать несколько звёздочек, или не накрывать ни одной (хотя в классических вариантах таких задач обычно предполагается, что каждая фигурка накрывает ровно одну звёздочку).
Решение таких задач требует значительного времени на перебор вариантов (методом проб и ошибок) или использования компьютерных алгоритмов. Это сложная комбинаторная задача, и её решение представляет собой конкретную схему укладки. Представить такое визуальное решение в текстовом формате затруднительно. Для решения необходимо взять набор фигур пентамино и, ориентируясь на положение звёздочек, последовательно укладывать их на поле 6x10.

Ответ: Для решения этой задачи нужно найти конкретное расположение 12 фигур пентамино на поле 6x10 так, чтобы каждая из 12 нарисованных звёздочек оказалась покрыта какой-либо фигурой. Это сложная головоломка на пространственное мышление, решаемая перебором вариантов.