Номер 343, страница 85, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

343* Ткань во время стирки садится на $ \frac{1}{16} $ часть по длине и на $ \frac{1}{15} $ часть по ширине.

Какой длины надо взять кусок ткани, чтобы после стирки иметь $378 \text{ м}^2$, если до стирки ширина её была 90 см?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $L_{до}$ и $W_{до}$ — это длина и ширина куска ткани до стирки, а $L_{после}$ и $W_{после}$ — его длина и ширина после стирки. Площадь после стирки обозначим как $S_{после}$.

1. Найдем, какая часть размеров остается после стирки.
Ткань садится на $\frac{1}{16}$ часть по длине, значит, после стирки остается $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ от первоначальной длины.
$L_{после} = L_{до} \cdot \frac{15}{16}$
Ткань садится на $\frac{1}{15}$ часть по ширине, значит, после стирки остается $1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$ от первоначальной ширины.
$W_{после} = W_{до} \cdot \frac{14}{15}$

2. Найдем ширину ткани после стирки.
Ширина до стирки $W_{до} = 90 \text{ см}$. Для удобства расчетов с площадью в м², переведем ширину в метры: $W_{до} = 0.9 \text{ м}$.
Теперь рассчитаем ширину после стирки:
$W_{после} = 0.9 \text{ м} \cdot \frac{14}{15} = \frac{9}{10} \cdot \frac{14}{15} = \frac{9 \cdot 14}{10 \cdot 15} = \frac{126}{150} = \frac{21}{25} = 0.84 \text{ м}$.

3. Найдем длину ткани после стирки.
Площадь ткани после стирки $S_{после}$ равна $378 \text{ м}^2$. Площадь прямоугольного куска ткани вычисляется как произведение длины на ширину: $S_{после} = L_{после} \cdot W_{после}$.
Отсюда можем найти длину после стирки:
$L_{после} = \frac{S_{после}}{W_{после}} = \frac{378}{0.84}$
Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе:
$L_{после} = \frac{37800}{84} = 450 \text{ м}$.

4. Найдем первоначальную длину ткани.
Мы знаем, что $L_{после} = L_{до} \cdot \frac{15}{16}$. Чтобы найти первоначальную длину $L_{до}$, нужно длину после стирки разделить на коэффициент усадки:
$L_{до} = L_{после} : \frac{15}{16} = L_{после} \cdot \frac{16}{15}$
$L_{до} = 450 \cdot \frac{16}{15} = \frac{450 \cdot 16}{15} = 30 \cdot 16 = 480 \text{ м}$.

Таким образом, чтобы после стирки получить кусок ткани площадью 378 м², нужно взять кусок длиной 480 м.

Ответ: 480 м.