Номер 345, страница 85, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

345 Пифагор Самосский (около 570-490 гг. до н. э.)

Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. – $\frac{1}{2}$ моих учеников изучает прекрасную математику, $\frac{1}{4}$ исследует тайны вечной природы, $\frac{1}{7}$ упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?

Для решения этой задачи обозначим общее количество учеников у Пифагора переменной $x$. Согласно рассказу Пифагора, его ученики делятся на группы по своим занятиям.

Из условия мы знаем, что:

• Половина учеников изучает математику, то есть $\frac{1}{2}x$.
• Четверть учеников исследует природу, то есть $\frac{1}{4}x$.
• Седьмая часть учеников упражняет силу духа, то есть $\frac{1}{7}x$.
• Помимо этих групп, есть ещё 3 юноши.

Сумма всех этих частей равна общему числу учеников $x$. На основе этого составим математическое уравнение:

$x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3$

Чтобы решить уравнение, сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x = 3$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28. Представим $x$ как $\frac{28}{28}x$, $\frac{1}{2}x$ как $\frac{14}{28}x$, $\frac{1}{4}x$ как $\frac{7}{28}x$ и $\frac{1}{7}x$ как $\frac{4}{28}x$.

$\frac{28}{28}x - \frac{14}{28}x - \frac{7}{28}x - \frac{4}{28}x = 3$

Выполним вычитание в левой части уравнения:

$\frac{28 - 14 - 7 - 4}{28}x = 3$

$\frac{3}{28}x = 3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент $\frac{3}{28}$:

$x = 3 \div \frac{3}{28}$

$x = 3 \cdot \frac{28}{3}$

$x = 28$

Таким образом, общее количество учеников у Пифагора равно 28. Проверим ответ:
- Изучают математику: $28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ учеников.
- Исследуют природу: $28 \cdot \frac{1}{4} = 7$ учеников.
- Упражняют силу духа: $28 \cdot \frac{1}{7} = 4$ ученика.
- Остальные юноши: 3.
Суммируем все группы: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$. Расчеты верны.

Ответ: у Пифагора было 28 учеников.