Номер 348, страница 86, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

348 Докажи утверждения.

1) Существуют двузначные числа, имеющие 6 делителей.

2) Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат (считать, что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами).

3) Если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

1) Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести конкретный пример. Возьмем двузначное число 12. Найдем все его натуральные делители, то есть числа, на которые 12 делится без остатка. Делителями числа 12 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Подсчитав их количество, получаем ровно 6 делителей. Так как 12 — это двузначное число, утверждение доказано. В качестве других примеров можно привести числа 18 (делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18), 20 (делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20) или 32 (делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32).
Ответ: Утверждение доказано; например, двузначное число 12 имеет 6 делителей.

2) Периметр прямоугольника $P$ со сторонами $a$ и $b$ находится по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$. По условию задачи, $P = 16$ см, следовательно, $2 \cdot (a+b) = 16$, что означает $a+b = 8$ см. Поскольку длины сторон $a$ и $b$ выражаются натуральными числами, нам нужно рассмотреть все пары натуральных чисел, сумма которых равна 8, и найти площадь $S = a \cdot b$ для каждой пары.
Возможные варианты для сторон (в см):
• Если $a = 1$, то $b = 7$. Площадь $S = 1 \cdot 7 = 7$ см$^2$.
• Если $a = 2$, то $b = 6$. Площадь $S = 2 \cdot 6 = 12$ см$^2$.
• Если $a = 3$, то $b = 5$. Площадь $S = 3 \cdot 5 = 15$ см$^2$.
• Если $a = 4$, то $b = 4$. Площадь $S = 4 \cdot 4 = 16$ см$^2$.
Другие пары, такие как $(5, 3)$, $(6, 2)$ и $(7, 1)$, описывают те же самые прямоугольники.
Сравнивая полученные значения площадей (7, 12, 15, 16), мы видим, что наибольшее значение — 16 см$^2$. Это значение достигается, когда стороны прямоугольника равны 4 см и 4 см, то есть когда прямоугольник является квадратом.
Ответ: Утверждение доказано путем перебора всех возможных прямоугольников с целочисленными сторонами и заданным периметром.

3) Это утверждение является свойством делимости суммы. Докажем его. Пусть есть несколько слагаемых, и каждое из них делится на 7. Для простоты рассмотрим два слагаемых, $a$ и $b$.
Если число $a$ делится на 7, то его можно представить в виде $a = 7 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число (частное).
Аналогично, если число $b$ делится на 7, то $b = 7 \cdot m$, где $m$ — некоторое целое число.
Найдем сумму этих слагаемых: $S = a + b = 7 \cdot k + 7 \cdot m$.
Используя распределительный закон умножения, мы можем вынести общий множитель 7 за скобки: $S = 7 \cdot (k + m)$.
Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Таким образом, сумма $S$ представлена в виде произведения числа 7 на целое число, что по определению означает, что сумма $S$ делится на 7. Этот же самый метод применим для любого количества слагаемых.
Ответ: Утверждение доказано с использованием определения делимости и распределительного закона умножения.