Номер 346, страница 85, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

346 Среди данных высказываний найди общие высказывания и высказывания о существовании. Из цифр, соответствующих общим высказываниям, составь все возможные трёхзначные числа (цифры в записи чисел не повторяются).

0. Некоторые натуральные числа являются делителями числа 36.

1 Любое натуральное число делится на себя и на единицу.

2 Можно найти два натуральных делителя числа 7.

3 Существует натуральное число, имеющее меньше двух делителей.

4 Делитель числа не всегда меньше самого числа.

5 Кратное числа не всегда больше самого числа.

6 Все числа, кратные десяти, оканчиваются нулём.

7. Некоторые числа, кратные четырём, оканчиваются цифрой 4.

8 Каждое натуральное число больше предыдущего на единицу.

9 Существует наименьшее натуральное число.

347

Для решения задачи выполним последовательно два шага.

1. Нахождение общих высказываний и высказываний о существовании

Сначала классифицируем каждое высказывание.
Общие высказывания — это утверждения, справедливые для всех элементов некоторого множества. Они часто содержат слова-кванторы «любой», «каждый», «все».
Высказывания о существовании — это утверждения о наличии хотя бы одного элемента с заданным свойством. Они часто содержат слова «некоторые», «существует», «можно найти». Выражения типа «не всегда» также указывают на существование, так как означают «существует случай, когда не...».

Проанализируем список:

• 0. «Некоторые...» — высказывание о существовании.
• 1. «Любое...» — общее высказывание.
• 2. «Можно найти...» — высказывание о существовании.
• 3. «Существует...» — высказывание о существовании.
• 4. «...не всегда...» — высказывание о существовании (означает, что существует делитель, который не меньше самого числа).
• 5. «...не всегда...» — высказывание о существовании (означает, что существует кратное, которое не больше самого числа).
• 6. «Все...» — общее высказывание.
• 7. «Некоторые...» — высказывание о существовании.
• 8. «Каждое...» — общее высказывание.
• 9. «Существует...» — высказывание о существовании.

Итак, общим высказываниям соответствуют цифры 1, 6 и 8.

Ответ:
Общие высказывания: 1, 6, 8.
Высказывания о существовании: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9.

2. Составление трёхзначных чисел

Теперь используем цифры, соответствующие общим высказываниям (1, 6, 8), чтобы составить все возможные трёхзначные числа. По условию, цифры в записи чисел не должны повторяться.

Нам нужно найти все перестановки из трёх элементов {1, 6, 8}. Количество таких перестановок вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, поэтому число комбинаций равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим все эти числа:

• Начиная с цифры 1: 168, 186
• Начиная с цифры 6: 618, 681
• Начиная с цифры 8: 816, 861

Ответ: 168, 186, 618, 681, 816, 861.