Номер 377, страница 89, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

377 Заполнив несколько строк в таблице, найди закономерность, которой подчиняются числа, стоящие в трёх последних столбцах каждой строки. Затем заполни таблицу до конца. Можно ли утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар чисел? Почему?

Проанализируем первую заполненную строку для чисел 4 и 6. Произведение чисел равно $4 \cdot 6 = 24$. Наибольший общий делитель (НОД) равен 2, а наименьшее общее кратное (НОК) равно 12. Заметим, что произведение НОД и НОК равно $2 \cdot 12 = 24$, что в точности совпадает с произведением самих чисел. Таким образом, мы можем выдвинуть гипотезу о закономерности: произведение двух натуральных чисел равно произведению их НОД и НОК. То есть, для любых чисел $a$ и $b$: $a \cdot b = НОД(a, b) \cdot НОК(a, b)$. Будем использовать эту закономерность для заполнения таблицы.

6 и 9

1. Находим произведение: $6 \cdot 9 = 54$.
2. Находим НОД(6, 9). Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Общий множитель - 3. Следовательно, $НОД(6, 9) = 3$.
3. Используя найденную закономерность, находим НОК: $НОК(6, 9) = \frac{6 \cdot 9}{НОД(6, 9)} = \frac{54}{3} = 18$.
Ответ: Произведение = 54, НОД = 3, НОК = 18.

5 и 7

1. Находим произведение: $5 \cdot 7 = 35$.
2. Числа 5 и 7 являются простыми и взаимно простыми. Их единственный общий делитель - это 1. Следовательно, $НОД(5, 7) = 1$.
3. Находим НОК: $НОК(5, 7) = \frac{5 \cdot 7}{НОД(5, 7)} = \frac{35}{1} = 35$.
Ответ: Произведение = 35, НОД = 1, НОК = 35.

35 и 45

1. Находим произведение: $35 \cdot 45 = 1575$.
2. Находим НОД(35, 45). Разложим на множители: $35 = 5 \cdot 7$, $45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$. Общий множитель - 5. Следовательно, $НОД(35, 45) = 5$.
3. Находим НОК: $НОК(35, 45) = \frac{35 \cdot 45}{НОД(35, 45)} = \frac{1575}{5} = 315$.
Ответ: Произведение = 1575, НОД = 5, НОК = 315.

16 и 18

1. Находим произведение: $16 \cdot 18 = 288$.
2. Находим НОД(16, 18). Разложим на множители: $16 = 2^4$, $18 = 2 \cdot 3^2$. Общий множитель - 2. Следовательно, $НОД(16, 18) = 2$.
3. Находим НОК: $НОК(16, 18) = \frac{16 \cdot 18}{НОД(16, 18)} = \frac{288}{2} = 144$.
Ответ: Произведение = 288, НОД = 2, НОК = 144.

735 и 845

1. Находим произведение: $735 \cdot 845 = 621075$. В таблице это значение уже было указано в виде произведения.
2. В таблице указан $НОД(735, 845) = 5$. Проверим: $735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2$, $845 = 5 \cdot 13^2$. Действительно, $НОД(735, 845) = 5$.
3. Находим НОК: $НОК(735, 845) = \frac{735 \cdot 845}{НОД(735, 845)} = \frac{621075}{5} = 124215$.
Ответ: Произведение = 621075, НОД = 5, НОК = 124215.

Заполненная таблица:

Да, можно утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар натуральных чисел. Это фундаментальное свойство НОД и НОК, которое является теоремой в теории чисел.

Почему это так?
Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно разложить на простые множители. Пусть их каноническое разложение по всем простым множителям, входящим хотя бы в одно из чисел, выглядит так:
$a = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$
$b = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \dots \cdot p_k^{b_k}$
(некоторые степени $a_i$ или $b_i$ могут быть равны нулю).
Тогда НОД и НОК находятся по следующим правилам:
$НОД(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)} \cdot p_2^{\min(a_2, b_2)} \cdot \dots \cdot p_k^{\min(a_k, b_k)}$
$НОК(a, b) = p_1^{\max(a_1, b_1)} \cdot p_2^{\max(a_2, b_2)} \cdot \dots \cdot p_k^{\max(a_k, b_k)}$
Теперь перемножим НОД и НОК:
$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1) + \max(a_1, b_1)} \cdot \dots \cdot p_k^{\min(a_k, b_k) + \max(a_k, b_k)}$
Для любых двух чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$.
Применяя это свойство к степеням, получаем:
$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{a_1 + b_1} \cdot p_2^{a_2 + b_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k + b_k}$
Сгруппировав множители, имеем:
$(p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}) \cdot (p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \dots \cdot p_k^{b_k}) = a \cdot b$.
Таким образом, теорема $a \cdot b = НОД(a, b) \cdot НОК(a, b)$ доказана и справедлива для любой пары натуральных чисел.