Номер 380, страница 90, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

380 Нарисуй на одном рисунке диаграмму Эйлера – Венна для множеств:

1) $D(18)$ и $D(36)$;

2) $D(5)$ и $D(487)$;

3) $D(60)$, $D(12)$, $D(36)$ и $D(180)$.

1) D(18) и D(36)

Обозначение $D(n)$ представляет собой множество всех натуральных делителей числа $n$.

Сначала найдем элементы каждого множества:

Множество делителей числа 18: $D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Множество делителей числа 36: $D(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$.

Сравнивая эти два множества, мы видим, что каждый элемент множества $D(18)$ также является элементом множества $D(36)$. Это означает, что $D(18)$ является подмножеством множества $D(36)$. Математически это записывается как $D(18) \subset D(36)$. Это также следует из того факта, что 18 является делителем 36.

Диаграмма Эйлера–Венна для этих двух множеств будет состоять из двух кругов, один из которых расположен полностью внутри другого. Внешний круг представляет множество $D(36)$, а внутренний круг — множество $D(18)$.

Ответ:

Диаграмма представляет собой два круга, где круг для множества $D(18)$ полностью находится внутри круга для множества $D(36)$, так как $D(18) \subset D(36)$.

2) D(5) и D(487)

Найдем элементы данных множеств.

Число 5 — простое, поэтому у него только два делителя: 1 и 5.

$D(5) = \{1, 5\}$.

Чтобы найти делители числа 487, проверим, не является ли оно простым. Проверка делимости на простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...) до $\sqrt{487} \approx 22$ показывает, что 487 не делится ни на одно из них. Следовательно, 487 — простое число.

$D(487) = \{1, 487\}$.

Теперь сравним множества $D(5)$ и $D(487)$. У них есть один общий элемент — число 1. Пересечение этих множеств: $D(5) \cap D(487) = \{1\}$.

Диаграмма Эйлера–Венна для этих множеств будет состоять из двух пересекающихся кругов. Один круг представляет $D(5)$, другой — $D(487)$. В области их пересечения будет находиться единственный общий элемент — 1. В оставшейся части круга $D(5)$ будет элемент 5, а в оставшейся части круга $D(487)$ — элемент 487.

Ответ:

Диаграмма представляет собой два пересекающихся круга. В их общей части находится элемент 1. В непересекающейся части одного круга находится элемент 5, а в непересекающейся части другого — элемент 487.

3) D(60), D(12), D(36) и D(180)

Для построения диаграммы для четырех множеств проанализируем отношения между ними, используя свойство: если число $a$ делит число $b$, то множество делителей $a$ является подмножеством множества делителей $b$, то есть $D(a) \subset D(b)$.

Проверим отношения делимости:

1. $180$ делится на $60$ ($180 = 60 \times 3$), значит $D(60) \subset D(180)$.

2. $180$ делится на $36$ ($180 = 36 \times 5$), значит $D(36) \subset D(180)$.

3. $180$ делится на $12$ ($180 = 12 \times 15$), значит $D(12) \subset D(180)$.

4. $60$ делится на $12$ ($60 = 12 \times 5$), значит $D(12) \subset D(60)$.

5. $36$ делится на $12$ ($36 = 12 \times 3$), значит $D(12) \subset D(36)$.

Множества $D(60)$ и $D(36)$ не являются подмножествами друг друга, так как 60 не делится на 36 и наоборот. Однако они имеют общие элементы. Их пересечение $D(60) \cap D(36)$ есть множество общих делителей чисел 60 и 36. Это множество совпадает с множеством делителей их наибольшего общего делителя (НОД).

Найдем НОД(60, 36):

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

$36 = 2^2 \times 3^2$

НОД$(60, 36) = 2^2 \times 3 = 12$.

Следовательно, $D(60) \cap D(36) = D(12)$.

На основе этого анализа строим диаграмму:

1. Рисуем самый большой круг (или овал) для множества $D(180)$.

2. Внутри него рисуем два пересекающихся круга поменьше — для $D(60)$ и $D(36)$.

3. Область пересечения кругов $D(60)$ и $D(36)$ как раз и будет представлять множество $D(12)$.

Таким образом, получается иерархическая структура: $D(12)$ является пересечением $D(60)$ и $D(36)$, а оба этих множества, в свою очередь, содержатся в $D(180)$.

Ответ:

Диаграмма состоит из большого круга $D(180)$, внутри которого находятся два пересекающихся круга $D(60)$ и $D(36)$. Область их пересечения является кругом, представляющим множество $D(12)$.