Номер 378, страница 90, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

378 Какая последняя цифра может быть у числа, кратного:

а) 10;

б) 5;

в) 2;

г) 3;

д) 7;

е) 11;

ж) 561;

з) 3282?

а) 10

Любое число, кратное 10, получается умножением некоторого целого числа $k$ на 10. Произведение любого целого числа на 10 всегда оканчивается на 0. Например, $10 \cdot 1 = 10$, $10 \cdot 7 = 70$, $10 \cdot 23 = 230$. Следовательно, единственная возможная последняя цифра для числа, кратного 10, это 0.

Ответ: 0.

б) 5

Чтобы число было кратно 5, оно должно делиться на 5 без остатка. Согласно признаку делимости на 5, такие числа могут оканчиваться только на 0 или 5. Оба варианта возможны: например, $5 \cdot 2 = 10$ (оканчивается на 0), а $5 \cdot 3 = 15$ (оканчивается на 5). Других последних цифр у чисел, кратных 5, быть не может.

Ответ: 0, 5.

в) 2

Число, кратное 2, является четным числом. По определению, четные числа — это целые числа, которые при делении на 2 дают в остатке 0. Все четные числа оканчиваются на одну из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все эти варианты возможны, например: $2 \cdot 5 = 10$ (оканчивается на 0), $2 \cdot 1 = 2$ (оканчивается на 2), $2 \cdot 2 = 4$ (оканчивается на 4), $2 \cdot 3 = 6$ (оканчивается на 6), $2 \cdot 4 = 8$ (оканчивается на 8).

Ответ: 0, 2, 4, 6, 8.

г) 3

Последняя цифра числа, кратного 3 (произведения $3 \cdot k$), зависит от последней цифры множителя $k$. Рассмотрим все возможные последние цифры для $k$ от 0 до 9 и найдем последнюю цифру произведения: $3 \cdot 0 = 0$ (последняя цифра 0); $3 \cdot 1 = 3$ (последняя цифра 3); $3 \cdot 2 = 6$ (последняя цифра 6); $3 \cdot 3 = 9$ (последняя цифра 9); $3 \cdot 4 = 12$ (последняя цифра 2); $3 \cdot 5 = 15$ (последняя цифра 5); $3 \cdot 6 = 18$ (последняя цифра 8); $3 \cdot 7 = 21$ (последняя цифра 1); $3 \cdot 8 = 24$ (последняя цифра 4); $3 \cdot 9 = 27$ (последняя цифра 7). Как видим, перебрав все варианты, мы получили все цифры от 0 до 9.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

д) 7

Аналогично предыдущему пункту, последняя цифра числа, кратного 7, зависит от последней цифры множителя. Проверим все варианты, умножая 7 на числа от 0 до 9 и смотря на последнюю цифру результата: $7 \cdot 0 = 0$ (0); $7 \cdot 1 = 7$ (7); $7 \cdot 2 = 14$ (4); $7 \cdot 3 = 21$ (1); $7 \cdot 4 = 28$ (8); $7 \cdot 5 = 35$ (5); $7 \cdot 6 = 42$ (2); $7 \cdot 7 = 49$ (9); $7 \cdot 8 = 56$ (6); $7 \cdot 9 = 63$ (3). Таким образом, у числа, кратного 7, последняя цифра может быть любой.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

е) 11

Последняя цифра числа 11 - это 1. При умножении любого числа $k$ на число, оканчивающееся на 1, последняя цифра результата будет такой же, как последняя цифра числа $k$. Поскольку множитель $k$ может быть любым целым числом, его последняя цифра может быть любой от 0 до 9. Следовательно, и последняя цифра числа, кратного 11, может быть любой. Например, $11 \cdot 2 = 22$, $11 \cdot 3 = 33$, $11 \cdot 9 = 99$.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ж) 561

Последняя цифра числа 561 - это 1. Как и в случае с числом 11, последняя цифра произведения $561 \cdot k$ будет совпадать с последней цифрой множителя $k$. Так как $k$ может оканчиваться на любую цифру от 0 до 9, то и число, кратное 561, может оканчиваться на любую из этих цифр. Например, $561 \cdot 2 = 1122$ (оканчивается на 2), $561 \cdot 3 = 1683$ (оканчивается на 3).

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

з) 3282

Последняя цифра числа 3282 - это 2. Таким образом, эта задача сводится к пункту "в)". Последняя цифра числа, кратного 3282, будет такой же, как последняя цифра произведения $2 \cdot k$. Это означает, что число будет четным, и его последняя цифра может быть только 0, 2, 4, 6 или 8. Все эти варианты реализуемы: например, $3282 \cdot 5 = 16410$ (0), $3282 \cdot 1 = 3282$ (2), $3282 \cdot 2 = 6564$ (4), $3282 \cdot 3 = 9846$ (6), $3282 \cdot 4 = 13128$ (8).

Ответ: 0, 2, 4, 6, 8.