Номер 371, страница 89, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

371 Найди наименьшее общее кратное чисел с помощью перебора. Кратные ка-кого числа целесообразно перебирать?

1) 1 и 3473;

2) 8917 и 2;

3) 5, 15 и 25;

4) 6, 8 и 12;

5) 3, 10 и 18;

6) 7, 8 и 14;

7) 7 и 12 345;

8) 36 и 96.

Образец ответа: $ \text{НОК} (9, 12, 18) = 36. $

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел с помощью перебора, нужно найти первое число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Наиболее целесообразно (проще и быстрее) перебирать числа, кратные самому большому из данных чисел. Для этого мы последовательно умножаем наибольшее число на 1, 2, 3 и так далее, и каждый раз проверяем, делится ли результат на остальные числа из набора. Первое такое число и будет их наименьшим общим кратным.

1) 1 и 3473;

Целесообразно перебирать кратные числа 3473.

Первое кратное числа 3473: $3473 \cdot 1 = 3473$.

Проверяем, делится ли 3473 на 1. Любое натуральное число делится на 1. Следовательно, 3473 является общим кратным. Так как это первое кратное, оно является наименьшим.

Ответ: НОК (1, 3473) = 3473.

2) 8917 и 2;

Целесообразно перебирать кратные числа 8917.

1) $8917 \cdot 1 = 8917$. Число 8917 нечетное, поэтому оно не делится на 2.

2) $8917 \cdot 2 = 17834$. Число 17834 четное, значит, оно делится на 2.

Число 17834 — первое кратное числа 8917, которое также делится на 2, поэтому это и есть НОК.

Ответ: НОК (8917, 2) = 17834.

3) 5, 15 и 25;

Целесообразно перебирать кратные наибольшего числа, то есть 25.

1) $25 \cdot 1 = 25$. Делится на 5 ($25:5=5$), но не делится на 15.

2) $25 \cdot 2 = 50$. Делится на 5 ($50:5=10$), но не делится на 15.

3) $25 \cdot 3 = 75$. Делится на 5 ($75:5=15$) и делится на 15 ($75:15=5$).

Число 75 — первое кратное 25, которое делится и на 5, и на 15. Значит, это НОК.

Ответ: НОК (5, 15, 25) = 75.

4) 6, 8 и 12;

Целесообразно перебирать кратные наибольшего числа, то есть 12.

1) $12 \cdot 1 = 12$. Делится на 6 ($12:6=2$), но не делится на 8.

2) $12 \cdot 2 = 24$. Делится на 6 ($24:6=4$) и делится на 8 ($24:8=3$).

Число 24 — первое кратное 12, которое делится и на 6, и на 8. Значит, это НОК.

Ответ: НОК (6, 8, 12) = 24.

5) 3, 10 и 18;

Целесообразно перебирать кратные наибольшего числа, то есть 18.

1) $18 \cdot 1 = 18$. Делится на 3 ($18:3=6$), но не делится на 10.

2) $18 \cdot 2 = 36$. Делится на 3 ($36:3=12$), но не делится на 10.

3) $18 \cdot 3 = 54$. Делится на 3 ($54:3=18$), но не делится на 10.

4) $18 \cdot 4 = 72$. Делится на 3 ($72:3=24$), но не делится на 10.

5) $18 \cdot 5 = 90$. Делится на 3 ($90:3=30$) и делится на 10 ($90:10=9$).

Число 90 — первое кратное 18, которое делится и на 3, и на 10. Значит, это НОК.

Ответ: НОК (3, 10, 18) = 90.

6) 7, 8 и 14;

Целесообразно перебирать кратные наибольшего числа, то есть 14.

1) $14 \cdot 1 = 14$. Делится на 7 ($14:7=2$), но не делится на 8.

2) $14 \cdot 2 = 28$. Делится на 7 ($28:7=4$), но не делится на 8.

3) $14 \cdot 3 = 42$. Делится на 7 ($42:7=6$), но не делится на 8.

4) $14 \cdot 4 = 56$. Делится на 7 ($56:7=8$) и делится на 8 ($56:8=7$).

Число 56 — первое кратное 14, которое делится и на 7, и на 8. Значит, это НОК.

Ответ: НОК (7, 8, 14) = 56.

7) 7 и 12 345;

Целесообразно перебирать кратные большего числа, то есть 12 345.

Проверим, делится ли 12 345 на 7: $12345 : 7 = 1763$ (ост. 4). Не делится.

Так как 7 — простое число и оно не является делителем числа 12 345, то эти числа взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Методом перебора мы бы искали первое кратное 12 345, которое делится на 7. Им будет седьмое по счету кратное.

НОК = $12345 \cdot 7 = 86415$.

Ответ: НОК (7, 12 345) = 86415.

8) 36 и 96;

Целесообразно перебирать кратные наибольшего числа, то есть 96.

1) $96 \cdot 1 = 96$. Проверяем деление на 36: $96 = 2 \cdot 36 + 24$. Не делится.

2) $96 \cdot 2 = 192$. Проверяем деление на 36: $192 = 5 \cdot 36 + 12$. Не делится.

3) $96 \cdot 3 = 288$. Проверяем деление на 36: $288 = 8 \cdot 36$. Делится.

Число 288 — первое кратное 96, которое делится на 36. Значит, это НОК.

Ответ: НОК (36, 96) = 288.