Номер 365, страница 88, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

365 Найди наибольший общий делитель чисел методом перебора. Делители какого числа целесообразно находить для сокращения перебора? Сформулируй правило (алгоритм) перебора.

1) 7 и 420;

2) 7 и 12 345;

3) 1 и 3473;

4) 8917 и 2;

5) 8, 12 и 42;

6) 4, 36 и 84;

7) 33 и 77;

8) 555 и 999.

Образец ответа: $НОД (7, 16, 25) = 1$.

Для сокращения перебора при нахождении наибольшего общего делителя (НОД) целесообразно находить делители наименьшего из данных чисел. У меньшего числа, как правило, меньше делителей, что сокращает количество проверок.

Правило (алгоритм) перебора для нахождения НОД:

1. Определить наименьшее из данных чисел.
2. Найти все делители этого числа и расположить их в порядке убывания.
3. Последовательно проверять, начиная с наибольшего делителя, делится ли на него каждое из остальных данных чисел.
4. Первый такой делитель, который разделит без остатка все числа, и является их наибольшим общим делителем.

1) 7 и 420

Для нахождения НОД(7, 420) методом перебора найдем делители наименьшего числа, то есть 7. Делители 7: 1, 7. Начнем проверку с наибольшего делителя — 7. Проверим, делится ли 420 на 7. $420 \div 7 = 60$. Так как 420 делится на 7 без остатка, то 7 является наибольшим общим делителем.
Ответ: НОД(7, 420) = 7.

2) 7 и 12 345

Наименьшее число — 7. Его делители: 1, 7. Начнем проверку с наибольшего делителя 7. Проверим, делится ли 12 345 на 7. $12345 \div 7 = 1763$ (остаток 4). Так как 12 345 не делится на 7 без остатка, проверяем следующий по убыванию делитель — 1. Единица является делителем любого целого числа, поэтому 1 — общий делитель. Так как других общих делителей больше 1 нет, то 1 — наибольший общий делитель.
Ответ: НОД(7, 12 345) = 1.

3) 1 и 3473

Наименьшее число — 1. Единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1. Так как 1 делит любое целое число, то 1 является их общим делителем. Поскольку у числа 1 нет других делителей, 1 является наибольшим общим делителем.
Ответ: НОД(1, 3473) = 1.

4) 8917 и 2

Наименьшее число — 2. Его делители: 1, 2. Начнем проверку с наибольшего делителя 2. Число 8917 является нечетным (оканчивается на 7), поэтому на 2 без остатка не делится. Следующий делитель — 1. Единица делит любое число, значит, она является общим делителем. Таким образом, 1 — наибольший общий делитель.
Ответ: НОД(8917, 2) = 1.

5) 8, 12 и 42

Наименьшее число — 8. Его делители в порядке убывания: 8, 4, 2, 1.

Проверяем делитель 8: 12 не делится на 8.

Проверяем делитель 4: 12 делится на 4 ($12 \div 4 = 3$), но 42 не делится на 4.

Проверяем делитель 2: 12 делится на 2 ($12 \div 2 = 6$) и 42 делится на 2 ($42 \div 2 = 21$). Так как 2 делит все три числа (8, 12, 42), то 2 — наибольший общий делитель.
Ответ: НОД(8, 12, 42) = 2.

6) 4, 36 и 84

Наименьшее число — 4. Его делители в порядке убывания: 4, 2, 1.

Проверяем наибольший делитель 4. Число 36 делится на 4 ($36 \div 4 = 9$). Число 84 делится на 4 ($84 \div 4 = 21$). Поскольку 4 делит все заданные числа, 4 является наибольшим общим делителем.
Ответ: НОД(4, 36, 84) = 4.

7) 33 и 77

Наименьшее число — 33. Его делители: 1, 3, 11, 33. Запишем их в порядке убывания: 33, 11, 3, 1.

Проверяем делитель 33: 77 не делится на 33.

Проверяем делитель 11: 77 делится на 11 ($77 \div 11 = 7$). Следовательно, 11 — наибольший общий делитель.
Ответ: НОД(33, 77) = 11.

8) 555 и 999

Наименьшее число — 555. Найдем его делители. $555 = 5 \times 111 = 5 \times 3 \times 37$. Делители 555 в порядке убывания: 555, 185, 111, 37, ...

Проверяем делитель 555: 999 не делится на 555.

Проверяем следующий по величине делитель 185 ($555 \div 3$). 999 не делится на 185.

Проверяем следующий делитель 111 ($555 \div 5$). 999 делится на 111 ($999 \div 111 = 9$). Поскольку 111 делит и 555, и 999, он является наибольшим общим делителем.
Ответ: НОД(555, 999) = 111.