Номер 361, страница 87, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

361 Как найти все делители данного числа? Можно ли упростить перебор, если вспомнить о парных делителях? Сколько делителей у чисел:

а) 60;

б) 136?

Чтобы найти все делители данного числа, можно использовать несколько подходов.

Метод перебора: самый простой способ — это проверить для каждого целого числа от 1 до самого́ числа, делится ли на него исходное число без остатка. Например, для числа $N$ мы проверяем числа $1, 2, 3, \ldots, N$. Этот метод очень медленный для больших чисел.

Метод разложения на простые множители: более эффективный и строгий метод.

• Сначала число $N$ раскладывают на простые множители: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_i$ — различные простые числа, а $a_i$ — их степени.
• Любой делитель $d$ числа $N$ будет состоять из тех же простых множителей, но в степенях не выше, чем у самого числа $N$: $d = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}$, где для каждого $i$ выполняется условие $0 \le b_i \le a_i$.
• Чтобы найти все делители, нужно перебрать все возможные комбинации степеней $b_i$.

Да, перебор можно значительно упростить, если вспомнить о парных делителях. Если некоторое число $d$ является делителем числа $N$, то и результат деления $N$ на $d$ (число $N/d$) также будет делителем $N$. Эти два делителя, $d$ и $N/d$, образуют пару.

Это свойство позволяет сократить поиск: вместо того чтобы проверять все числа от 1 до $N$, достаточно проверять их только до квадратного корня из $N$ ($\sqrt{N}$).

Алгоритм поиска с использованием парных делителей:

1. Искать делители $d$ перебором чисел от 1 до $\lfloor\sqrt{N}\rfloor$ (целая часть от корня из $N$).
2. Если при делении $N$ на $d$ остаток равен 0, то мы нашли сразу два делителя: сам делитель $d$ и парный ему делитель $N/d$.
3. Особый случай возникает, когда $N$ — это полный квадрат, например, $N = k^2$. В этом случае при $d=k$ парный делитель $N/d$ будет равен $k$. Такой делитель один, и его не нужно считать дважды.

Например, для числа 36 ($\sqrt{36}=6$):

• Проверяем 1: 36 делится на 1. Делители 1 и 36/1=36.
• Проверяем 2: 36 делится на 2. Делители 2 и 36/2=18.
• Проверяем 3: 36 делится на 3. Делители 3 и 36/3=12.
• Проверяем 4: 36 делится на 4. Делители 4 и 36/4=9.
• Проверяем 5: 36 не делится на 5.
• Проверяем 6: 36 делится на 6. Так как $6 \cdot 6 = 36$, это один делитель 6.

Перебор закончен. Все делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Чтобы найти количество делителей, удобнее всего использовать формулу, основанную на разложении на простые множители. Если $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, то общее число делителей $\tau(N)$ равно:

$\tau(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.

а)

Найдем количество делителей числа 60.

1. Разложим число 60 на простые множители:

$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

2. Степени простых множителей в разложении — это 2, 1 и 1.

3. Подставим эти степени в формулу для нахождения числа делителей:

$\tau(60) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12.

б)

Найдем количество делителей числа 136.

1. Разложим число 136 на простые множители:

$136 = 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17^1$.

2. Степени простых множителей в разложении — это 3 и 1.

3. Подставим эти степени в формулу:

$\tau(136) = (3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.