Номер 364, страница 88, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

364 Поставь вместо звёздочки нужный знак в следующем предложении: «Если

$A$ – множество делителей числа $n$, $B$ – множество делителей числа $k$, то

$A * B$ – множество общих делителей чисел $n$ и $k$».

Для того чтобы определить, какой знак нужно поставить вместо звёздочки, проанализируем условие задачи с точки зрения теории множеств.

По условию, нам даны два множества:

• $A$ — это множество всех делителей числа $n$. Это можно записать как $A = \{d \in \mathbb{N} \mid n \text{ делится на } d\}$.
• $B$ — это множество всех делителей числа $k$. Это можно записать как $B = \{d \in \mathbb{N} \mid k \text{ делится на } d\}$.

Нас интересует множество общих делителей чисел $n$ и $k$. Общий делитель — это число, которое является делителем и для $n$, и для $k$ одновременно. То есть, если мы обозначим искомое множество как $C$, то любой элемент $x$ из этого множества должен удовлетворять двум условиям:

1. $x$ является делителем числа $n$, что означает $x \in A$.
2. $x$ является делителем числа $k$, что означает $x \in B$.

Таким образом, искомое множество $C$ состоит из элементов, которые принадлежат как множеству $A$, так и множеству $B$. В теории множеств операция, которая формирует новое множество из элементов, общих для двух или более множеств, называется пересечением. Операция пересечения обозначается знаком $\cap$.

Следовательно, множество общих делителей чисел $n$ и $k$ является пересечением множеств $A$ и $B$.

$A * B = A \cap B$

Проверим на примере. Пусть $n = 12$ и $k = 18$.

• Множество делителей числа 12: $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
• Множество делителей числа 18: $B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
• Множество общих делителей чисел 12 и 18: $\{1, 2, 3, 6\}$.
• Найдем пересечение множеств $A$ и $B$: $A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \cap \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} = \{1, 2, 3, 6\}$.

Результаты совпадают. Таким образом, звёздочку `*` следует заменить на знак пересечения `∩`.

Ответ: $\cap$