Номер 366, страница 88, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

366 Среди чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ найди, не вычисляя, числа, делителями которых являются 2, 5, 10. Проверь с помощью вычислений.

$a=3 \cdot 5 \cdot 7 \quad b=2 \cdot 5 \cdot 7 \quad c=5 \cdot 5 \quad d=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$

Нахождение чисел без вычислений

Чтобы число делилось одновременно на 2, 5 и 10, достаточно, чтобы оно делилось на 10. Число делится на 10, если в его разложении на простые множители есть одновременно множители 2 и 5, так как $10 = 2 \cdot 5$.

Рассмотрим разложения данных чисел на простые множители:

• Число $a = 3 \cdot 5 \cdot 7$. В его разложении есть множитель 5, но нет множителя 2. Следовательно, оно не делится на 2 и на 10.
• Число $b = 2 \cdot 5 \cdot 7$. В его разложении есть и множитель 2, и множитель 5. Следовательно, оно делится на 2, на 5 и на 10.
• Число $c = 5 \cdot 5$. В его разложении есть множитель 5, но нет множителя 2. Следовательно, оно не делится на 2 и на 10.
• Число $d = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$. В его разложении есть множитель 2, но нет множителя 5. Следовательно, оно не делится на 5 и на 10.

Таким образом, единственное число, которое делится на 2, 5 и 10, — это число $b$.

Ответ: $b$.

Проверка с помощью вычислений

Вычислим значения каждого числа и проверим их делимость на 2, 5 и 10.

• $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
  $105 \div 2 = 52,5$ (не делится нацело)
  $105 \div 5 = 21$ (делится нацело)
  $105 \div 10 = 10,5$ (не делится нацело)
• $b = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
  $70 \div 2 = 35$ (делится нацело)
  $70 \div 5 = 14$ (делится нацело)
  $70 \div 10 = 7$ (делится нацело)
  Число $b$ удовлетворяет условию.
• $c = 5 \cdot 5 = 25$.
  $25 \div 2 = 12,5$ (не делится нацело)
  $25 \div 5 = 5$ (делится нацело)
  $25 \div 10 = 2,5$ (не делится нацело)
• $d = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 32 \cdot 33 = 1056$.
  $1056 \div 2 = 528$ (делится нацело)
  $1056 \div 5 = 211,2$ (не делится нацело)
  $1056 \div 10 = 105,6$ (не делится нацело)

Проверка подтверждает, что только число $b$ имеет делителями числа 2, 5 и 10.

Ответ: $b$.