Номер 415, страница 96, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

415 Могут ли быть простыми числами координаты точек $A$, $B$, $C$ и $D$, если $p$ – простое число?

На изображении представлены следующие элементы:

Числовая прямая с отметками $0$ и $1$.

Точки $A$, $B$, $C$, $D$.

Отношения между точками, обозначенные стрелками и значениями:

Смещение на $-1$ приводит к точке $A$.

Смещение на $+1$ от $A$ к $B$: $B = A + 1$.

Смещение на $p$ от $B$ к $C$: $C = B + p$.

Смещение на $+p$ от $C$ к $D$: $D = C + p$.

Для решения задачи сначала определим координаты точек A, B, C и D, используя данные с числовой оси. Известно, что $p$ — простое число.

• Координата точки A находится смещением от $p$ на -1: $A = p - 1$
• Координата точки B находится смещением от $p$ на +1: $B = p + 1$
• Координата точки C находится смещением от B на +p: $C = B + p = (p + 1) + p = 2p + 1$
• Координата точки D находится смещением от C на +p: $D = C + p = (2p + 1) + p = 3p + 1$

Теперь необходимо проверить, могут ли все четыре значения ($A$, $B$, $C$ и $D$) быть простыми числами одновременно для какого-либо простого $p$.

Могут ли быть простыми числами координаты точек А, В, С и D

Рассмотрим последовательность из трех последовательных целых чисел: $p-1$, $p$, $p+1$. По правилу делимости, одно из этих трех чисел обязательно должно быть кратно 3.

Проанализируем возможные случаи для простого числа $p$:

1. Случай $p=2$. Это единственное четное простое число.
Координата точки A: $A = 2 - 1 = 1$.
Число 1 по определению не является простым. Следовательно, этот случай не подходит.

2. Случай $p=3$. В этой ситуации само число $p$ делится на 3.
Координата точки B: $B = 3 + 1 = 4$.
Число 4 является составным ($4 = 2 \cdot 2$). Следовательно, этот случай также не подходит (несмотря на то, что $A = 3 - 1 = 2$ является простым).

3. Случай $p > 3$. Если $p$ — простое число, большее 3, то оно не может делиться на 3.
Возвращаясь к нашей последовательности $p-1$, $p$, $p+1$, раз $p$ не делится на 3, значит, на 3 должно делиться одно из двух чисел: $p-1$ (координата A) или $p+1$ (координата B).

• Если $p-1$ делится на 3, то координата $A = p-1$ является числом, кратным 3. Так как $p > 3$, то $p-1 > 2$. Любое число, которое больше 3 и делится на 3, является составным. Значит, $A$ не может быть простым.
• Если $p+1$ делится на 3, то координата $B = p+1$ является числом, кратным 3. Так как $p > 3$, то $p+1 > 4$. Любое число, которое больше 3 и делится на 3, является составным. Значит, $B$ не может быть простым.

В любом из этих вариантов, если $p$ — простое число больше 3, то как минимум одна из координат (либо A, либо B) будет составным числом.

Мы рассмотрели все возможные случаи для простого числа $p$ и пришли к выводу, что ни в одном из них все четыре координаты A, B, C и D не могут быть простыми числами одновременно. Всегда хотя бы одна из координат (A или B) не будет простой.

Ответ: Нет, не могут.