Номер 419, страница 96, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

419 а и b - простые числа. Перечисли делители чисел:

1) $a \cdot b$;

2) $a \cdot a \cdot b$;

3) $a \cdot a \cdot b \cdot b$.

1) $a \cdot b$
По условию, $a$ и $b$ — простые числа. Будем считать их различными. Разложение числа $N = a \cdot b$ на простые множители уже представлено. Любой делитель этого числа является произведением его простых множителей в степени 0 или 1. Таким образом, делителями являются:
1 (когда оба множителя в степени 0, $a^0 \cdot b^0 = 1$),
сами простые числа $a$ и $b$ (соответственно, $a^1 \cdot b^0$ и $a^0 \cdot b^1$),
и их произведение $a \cdot b$ (когда оба множителя в степени 1, $a^1 \cdot b^1$).
Ответ: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.

2) $a \cdot a \cdot b$
Число представлено в виде произведения простых множителей, которое можно записать как $a^2 \cdot b$. Чтобы найти все его делители, нужно составить все возможные произведения из множителей $a$ (в степени 0, 1 или 2) и $b$ (в степени 0 или 1). Перебирая все комбинации, получаем следующие делители:
$a^0 b^0 = 1$
$a^1 b^0 = a$
$a^2 b^0 = a \cdot a$
$a^0 b^1 = b$
$a^1 b^1 = a \cdot b$
$a^2 b^1 = a \cdot a \cdot b$
Ответ: 1, $a$, $b$, $a \cdot a$, $a \cdot b$, $a \cdot a \cdot b$.

3) $a \cdot a \cdot b \cdot b$
Число представлено в виде произведения простых множителей, которое можно записать как $a^2 \cdot b^2$. Его делители — это все возможные произведения множителей $a$ (в степени 0, 1 или 2) и $b$ (в степени 0, 1 или 2). Общее количество делителей равно $(2+1) \cdot (2+1) = 9$. Перечислим их все, сгруппировав по степени множителя $b$:
Делители с $b^0$: $1, a, a \cdot a$.
Делители с $b^1$: $b, a \cdot b, a \cdot a \cdot b$.
Делители с $b^2$: $b \cdot b, a \cdot b \cdot b, a \cdot a \cdot b \cdot b$.
Ответ: 1, $a$, $b$, $a \cdot a$, $a \cdot b$, $b \cdot b$, $a \cdot a \cdot b$, $a \cdot b \cdot b$, $a \cdot a \cdot b \cdot b$.