Номер 414, страница 95, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

414 Используя таблицу простых чисел, определи, являются ли простыми числа:

59, 83, 91, 97, 127, 379, 511, 697, 761, 803, 851, 991, 997.

59
Чтобы определить, является ли число 59 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{59}$. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{59} \approx 7.68$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1. Число 59 нечетное, значит, на 2 не делится.
2. Сумма цифр $5+9=14$, 14 не делится на 3, значит, 59 не делится на 3.
3. Число не заканчивается на 0 или 5, значит, на 5 не делится.
4. $59 \div 7 = 8$ (остаток 3), значит, на 7 не делится.
Поскольку 59 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{59}$, оно является простым.
Ответ: простое число.

83
Проверим число 83. $\sqrt{83} \approx 9.11$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1. 83 - нечетное число (не делится на 2).
2. Сумма цифр $8+3=11$, не делится на 3.
3. Не заканчивается на 0 или 5.
4. $83 \div 7 = 11$ (остаток 6).
Число 83 не имеет простых делителей до $\sqrt{83}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

91
Проверим число 91. $\sqrt{91} \approx 9.54$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1. 91 - нечетное.
2. Сумма цифр $9+1=10$, не делится на 3.
3. Не заканчивается на 0 или 5.
4. $91 \div 7 = 13$.
Число 91 делится на 7, значит, оно является составным: $91 = 7 \times 13$.
Ответ: составное число.

97
Проверим число 97. $\sqrt{97} \approx 9.85$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1. 97 - нечетное.
2. Сумма цифр $9+7=16$, не делится на 3.
3. Не заканчивается на 0 или 5.
4. $97 \div 7 = 13$ (остаток 6).
Число 97 не имеет простых делителей до $\sqrt{97}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

127
Проверим число 127. $\sqrt{127} \approx 11.27$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7, 11.
1. 127 - нечетное.
2. Сумма цифр $1+2+7=10$, не делится на 3.
3. Не заканчивается на 0 или 5.
4. $127 \div 7 = 18$ (остаток 1).
5. $127 \div 11 = 11$ (остаток 6).
Число 127 не имеет простых делителей до $\sqrt{127}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

379
Проверим число 379. $\sqrt{379} \approx 19.47$. Проверяем делимость на простые числа до 19: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 19), 5 не выполняются.
$379 \div 7 = 54$ (ост. 1).
$379 \div 11 = 34$ (ост. 5).
$379 \div 13 = 29$ (ост. 2).
$379 \div 17 = 22$ (ост. 5).
$379 \div 19 = 19$ (ост. 18).
Число 379 не имеет простых делителей до $\sqrt{379}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

511
Проверим число 511. $\sqrt{511} \approx 22.6$. Проверяем делимость на простые числа до 22.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 7), 5 не выполняются.
$511 \div 7 = 73$.
Число 511 делится на 7, значит, оно является составным: $511 = 7 \times 73$.
Ответ: составное число.

697
Проверим число 697. $\sqrt{697} \approx 26.4$. Проверяем делимость на простые числа до 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 22), 5 не выполняются.
Проверяем деление на другие простые числа:
$697 \div 17 = 41$.
Число 697 делится на 17, значит, оно является составным: $697 = 17 \times 41$.
Ответ: составное число.

761
Проверим число 761. $\sqrt{761} \approx 27.58$. Проверяем делимость на простые числа до 27: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 14), 5 не выполняются.
$761 \div 7 = 108$ (ост. 5).
$761 \div 11 = 69$ (ост. 2).
$761 \div 13 = 58$ (ост. 7).
$761 \div 17 = 44$ (ост. 13).
$761 \div 19 = 40$ (ост. 1).
$761 \div 23 = 33$ (ост. 2).
Число 761 не имеет простых делителей до $\sqrt{761}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

803
Проверим число 803. $\sqrt{803} \approx 28.33$. Проверяем делимость на простые числа до 28.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 11), 5 не выполняются.
Проверим делимость на 11 (признак: знакопеременная сумма цифр $8-0+3=11$ делится на 11):
$803 \div 11 = 73$.
Число 803 делится на 11, значит, оно является составным: $803 = 11 \times 73$.
Ответ: составное число.

851
Проверим число 851. $\sqrt{851} \approx 29.17$. Проверяем делимость на простые числа до 29: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 14), 5 не выполняются.
Проверяем деление на другие простые числа:
$851 \div 23 = 37$.
Число 851 делится на 23, значит, оно является составным: $851 = 23 \times 37$.
Ответ: составное число.

991
Проверим число 991. $\sqrt{991} \approx 31.48$. Проверяем делимость на простые числа до 31: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 19), 5 не выполняются.
Перебор простых делителей показывает, что 991 не делится ни на одно из них.
$991 \div 7 = 141$ (ост. 4).
$991 \div 11 = 90$ (ост. 1).
$991 \div 13 = 76$ (ост. 3).
$991 \div 17 = 58$ (ост. 5).
$991 \div 19 = 52$ (ост. 3).
$991 \div 23 = 43$ (ост. 2).
$991 \div 29 = 34$ (ост. 5).
$991 \div 31 = 31$ (ост. 30).
Число 991 не имеет простых делителей до $\sqrt{991}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.

997
Проверим число 997. $\sqrt{997} \approx 31.57$. Проверяем делимость на простые числа до 31: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
Признаки делимости на 2, 3 (сумма цифр 25), 5 не выполняются.
Перебор простых делителей показывает, что 997 не делится ни на одно из них.
$997 \div 7 = 142$ (ост. 3).
$997 \div 11 = 90$ (ост. 7).
$997 \div 13 = 76$ (ост. 9).
$997 \div 17 = 58$ (ост. 11).
$997 \div 19 = 52$ (ост. 9).
$997 \div 23 = 43$ (ост. 8).
$997 \div 29 = 34$ (ост. 11).
$997 \div 31 = 32$ (ост. 5).
Число 997 не имеет простых делителей до $\sqrt{997}$, следовательно, оно простое.
Ответ: простое число.