Номер 407, страница 94, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

407 В семье шестеро детей, причём возраст каждого ребёнка в годах выражается числом, делящимся только на само себя и на единицу. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше самого младшего. Сколько лет младшему?

Согласно условию, в семье шестеро детей, и возраст каждого из них — это простое число (натуральное число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя).

Пусть $x$ — возраст самого младшего ребенка. Тогда, исходя из условия, возраста всех шести детей образуют последовательность:

$x$, $x+2$, $x+6$, $x+8$, $x+12$, $x+14$.

Все числа в этой последовательности должны быть простыми.

Рассмотрим эту последовательность чисел с точки зрения делимости на 5. Любое целое число при делении на 5 дает один из остатков: 0, 1, 2, 3 или 4.

Наша последовательность возрастов $x, x+2, x+6, x+8, x+12, x+14$ при делении на 5 дает остатки, соответствующие числам $x \pmod{5}$, $(x+2) \pmod{5}$, $(x+1) \pmod{5}$, $(x+3) \pmod{5}$, $(x+2) \pmod{5}$, $(x+4) \pmod{5}$. Этот набор остатков содержит все возможные остатки от 0 до 4 для некоторого $x$ (например, если $x$ дает остаток 1, то $x+4$ дает остаток 0). Это означает, что одно из чисел в последовательности возрастов обязательно делится на 5.

Единственное простое число, которое делится на 5, — это само число 5. Следовательно, возраст одного из детей должен быть равен 5 годам. Проверим, кто из детей может быть пятилетним.

1. Если возраст младшего ребенка $x=5$. Получаем ряд возрастов: $5, 7, 11, 13, 17, 19$. Все эти числа — простые. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

2. Если возраст второго ребенка $x+2=5$, то $x=3$. Ряд возрастов: $3, 5, 9, 11, 15, 17$. Числа $9$ и $15$ не являются простыми, поэтому этот случай не подходит.

3. Если возраст кого-то из старших детей равен 5 (например, $x+6=5$), то возраст младшего ребенка $x$ должен быть отрицательным числом ($x = 5-6 = -1$), что невозможно. Аналогично для остальных старших детей.

Таким образом, единственно возможный вариант — возраст младшего ребенка равен 5 годам.

Ответ: 5