Номер 411, страница 95, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

411 а) Есть ли чётные простые числа? Сколько их? Почему?

б) Есть ли простые числа, оканчивающиеся цифрой 0? Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число?

в) Какими цифрами может оканчиваться многозначное составное число?

а) Да, существует чётное простое число.
По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка.
Рассмотрим число 2. Оно является чётным. Его делителями являются только числа 1 и 2. Поскольку у него ровно два делителя, число 2 является простым.
Теперь рассмотрим любое другое чётное число $N$, которое больше 2. Поскольку $N$ — чётное, оно делится на 2. Следовательно, его можно представить в виде $N = 2 \cdot k$, где $k$ — натуральное число и $k > 1$. Это означает, что число $N$ имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Так как у него больше двух делителей, оно по определению является составным.
Таким образом, существует только одно чётное простое число — это 2.
Ответ: да, существует, но только одно — это число 2. Все остальные чётные числа являются составными, так как кроме 1 и самих себя они также делятся на 2.

б) Нет, простых чисел, оканчивающихся цифрой 0, не существует. Любое натуральное число, которое больше 0 и оканчивается на 0, делится на 10, а следовательно, делится на 2 и на 5. Поскольку такое число (например, 10, 20, 30, ...) имеет как минимум четыре делителя (1, 2, 5 и само число), оно является составным.
Многозначное простое число не может оканчиваться на следующие цифры:
- на любую чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). Если последняя цифра числа чётная, то и само число является чётным, то есть делится на 2. Единственное чётное простое число — это 2, но оно является однозначным. Любое многозначное чётное число будет составным.
- на цифру 5. Если последняя цифра числа — 5, то всё число делится на 5. Единственное простое число, делящееся на 5, — это само число 5, но оно однозначное. Любое многозначное число, оканчивающееся на 5 (например, $15=3 \cdot 5$, $25=5 \cdot 5$), будет составным.
Таким образом, многозначное простое число может оканчиваться только на 1, 3, 7 или 9.
Ответ: нет, простых чисел, оканчивающихся на 0, не существует. Многозначное простое число не может оканчиваться цифрами 0, 2, 4, 5, 6, 8.

в) Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Многозначное составное число может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9. Чтобы доказать это, достаточно привести по одному примеру для каждой цифры:
- оканчивается на 0: 10 (делится на 2 и 5);
- оканчивается на 1: 21 ($21 = 3 \cdot 7$);
- оканчивается на 2: 12 (делится на 2);
- оканчивается на 3: 33 ($33 = 3 \cdot 11$);
- оканчивается на 4: 14 (делится на 2);
- оканчивается на 5: 15 (делится на 5);
- оканчивается на 6: 16 (делится на 2);
- оканчивается на 7: 27 ($27 = 3 \cdot 9$);
- оканчивается на 8: 18 (делится на 2);
- оканчивается на 9: 49 ($49 = 7 \cdot 7$).
Поскольку для каждой цифры от 0 до 9 мы смогли найти пример многозначного составного числа, которое на неё оканчивается, можно сделать вывод, что ограничений нет.
Ответ: многозначное составное число может оканчиваться любой цифрой: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.