Номер 416, страница 96, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

416 Выясни истинность утверждений.

1) В множестве ${7, 11, 97, 289, 21005}$ все числа простые.

2) В множестве ${2, 5, 19, 41, 57, 84291}$ имеются составные числа.

3) Все нечётные числа являются простыми числами.

4) Существуют числа, произведение которых является простым числом.

5) Существуют простые числа, произведение которых является простым числом.

1) Для того чтобы выяснить истинность утверждения, необходимо проверить каждое число в множестве {7, 11, 97, 289, 21 005} на простоту. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Числа 7, 11 и 97 являются простыми. Однако число 289 является составным, так как $289 = 17 \times 17$. Число 21 005 также является составным, поскольку оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. Так как в множестве есть составные числа, утверждение ложно.
Ответ: ложь.

2) Утверждение "В множестве {2, 5, 19, 41, 57, 84 291} имеются составные числа" является истинным. Чтобы это проверить, достаточно найти хотя бы одно составное число. Числа 2, 5, 19 и 41 — простые. Число 57 является составным, так как сумма его цифр $5+7=12$ делится на 3, а значит и само число делится на 3: $57 = 3 \times 19$. Число 84 291 также составное, потому что сумма его цифр $8+4+2+9+1=24$ делится на 3. Поскольку в множестве найдены составные числа, утверждение истинно.
Ответ: истина.

3) Утверждение "Все нечётные числа являются простыми числами" является ложным. Для его опровержения достаточно привести один контрпример. Например, число 9 является нечётным, но при этом составным, так как оно делится на 3 ($9 = 3 \times 3$). Другие примеры нечётных составных чисел: 15, 21, 25. Таким образом, не все нечётные числа простые.
Ответ: ложь.

4) Утверждение "Существуют числа, произведение которых является простым числом" является истинным. По определению, у простого числа $p$ есть только два натуральных делителя: 1 и само число $p$. Следовательно, произведение числа 1 и любого простого числа $p$ будет равно самому этому простому числу. Например, если взять числа 1 и 7, их произведение $1 \times 7 = 7$, а 7 — это простое число. Значит, такие числа существуют.
Ответ: истина.

5) Утверждение "Существуют простые числа, произведение которых является простым числом" является ложным. Любое простое число по определению больше 1. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два простых числа. Тогда их произведение $P = p_1 \times p_2$ будет иметь как минимум четыре делителя: 1, $p_1$, $p_2$ и само число $P$. Поскольку $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$, делители $p_1$ и $p_2$ отличаются от 1 и $P$. Это означает, что произведение $P$ является составным числом. Например, произведение самых маленьких простых чисел 2 и 3 равно $2 \times 3 = 6$, что является составным числом.
Ответ: ложь.