Номер 412, страница 95, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

412 Докажи, что приведённые ниже числа являются составными:

а) 8, 28, 111;

б) 77 777, 1111, 242242, 373737, 111 111 111;

в) 1111...1 (1996 цифр);

г) 1111...1 (1995 цифр).

НАТУРАЛЬНЫЕ прост COCTA

Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что число является составным, достаточно найти хотя бы один такой делитель.

а) 8, 28, 111;

Число 8 является чётным, следовательно, оно делится на 2: $8 = 2 \cdot 4$.

Число 28 также является чётным и делится на 2: $28 = 2 \cdot 14$.

Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$. Согласно признаку делимости, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3: $111 = 3 \cdot 37$.

Ответ: Все три числа являются составными, так как имеют делители, отличные от 1 и самих себя.

б) 77 777, 1111, 242 242, 373 737, 111 111 111;

Число 77 777 можно представить как произведение $7 \cdot 11111$.

Число 1111 можно разложить на множители: $1111 = 11 \cdot 101$.

Число 242 242 можно представить в виде: $242242 = 242 \cdot 1000 + 242 = 242 \cdot (1000 + 1) = 242 \cdot 1001$.

Число 373 737 аналогично предыдущему: $373737 = 373 \cdot 1000 + 373 = 373 \cdot (1000 + 1) = 373 \cdot 1001$.

Число 111 111 111 состоит из 9 единиц. Сумма его цифр равна $1 \cdot 9 = 9$. Так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Ответ: Все указанные числа являются составными, так как для каждого из них найден делитель, отличный от 1 и самого числа.

в) 111...1 (1996 цифр);

Данное число состоит из 1996 единиц. Количество цифр, 1996, — чётное число. Воспользуемся признаком делимости на 11: если знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11, то и само число делится на 11. В нашем случае эта сумма равна: $(1-1) + (1-1) + \dots + (1-1)$. Так как у нас 1996 цифр, то будет $1996 / 2 = 998$ таких пар. Сумма равна $998 \cdot 0 = 0$. Ноль делится на любое число, включая 11, поэтому и исходное число делится на 11. Поскольку это число больше 11, оно является составным.

Ответ: Число, состоящее из 1996 единиц, является составным, так как оно делится на 11.

г) 111...1 (1995 цифр).

Данное число состоит из 1995 единиц. Воспользуемся признаком делимости на 3. Сумма цифр этого числа равна $1 \cdot 1995 = 1995$. Проверим, делится ли 1995 на 3. Сумма цифр числа 1995 равна $1+9+9+5=24$. Так как 24 делится на 3, то и число 1995 делится на 3. А раз сумма цифр исходного числа (1995) делится на 3, то и само исходное число, состоящее из 1995 единиц, делится на 3. Поскольку оно очевидно больше 3, оно является составным.

Ответ: Число, состоящее из 1995 единиц, является составным, так как оно делится на 3.