Номер 408, страница 94, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

408 Задача-шутка

Найди дробь, у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится, если её запись перевернуть «вверх ногами».

*

Эта задача-шутка основана на визуальном свойстве некоторых арабских цифр сохранять смысл при повороте на 180 градусов. Давайте разберем условия. Нам нужна дробь $\frac{a}{b}$, у которой числитель меньше знаменателя, то есть $a < b$. Кроме того, дробь не должна измениться, если ее запись перевернуть «вверх ногами». Это означает, что если мы напишем дробь на листе бумаги и перевернем лист на 180°, запись должна остаться прежней.

Рассмотрим, какие цифры при повороте на 180° переходят в другие цифры или остаются собой: $0$ превращается в $0$, $1$ в $1$, $6$ в $9$, $8$ в $8$, и $9$ в $6$. Цифры 2, 3, 4, 5, 7 при таком повороте теряют вид цифр.

Когда мы переворачиваем дробь $\frac{a}{b}$, числитель $a$ оказывается внизу и становится перевернутым знаменателем, а знаменатель $b$ оказывается вверху и становится перевернутым числителем. Обозначим число, полученное поворотом числа $x$, как $x'$. Тогда перевернутая дробь будет иметь вид $\frac{b'}{a'}$.

Условие, что дробь «не изменится», означает, что ее вид останется прежним. Это возможно, только если новый числитель равен старому, а новый знаменатель — старому знаменателю. То есть, должны выполняться равенства: $b' = a$ и $a' = b$.

Теперь найдем такую пару чисел $(a, b)$, удовлетворяющую этим условиям и условию $a < b$. Попробуем самый простой вариант, используя цифры 6 и 9. Пусть числитель $a = 6$. Тогда, согласно нашему условию, знаменатель $b$ должен быть равен перевернутому числителю: $b = a' = \text{перевернутая } 6 = 9$. Проверим второе условие: $a = b'$. Если $b=9$, то $b' = \text{перевернутая } 9 = 6$. Значит, $a = 6$ действительно равно $b'$.

Итак, мы нашли пару чисел: $a=6$ и $b=9$. Проверим, подходит ли нам дробь $\frac{6}{9}$. Во-первых, числитель меньше знаменателя: $6 < 9$. Условие выполняется. Во-вторых, при переворачивании «вверх ногами» запись дроби $\frac{6}{9}$ не меняется. Цифра 9 из знаменателя, перевернувшись, становится цифрой 6 в числителе. Цифра 6 из числителя, перевернувшись, становится цифрой 9 в знаменателе. В результате мы снова получаем дробь $\frac{6}{9}$. Это условие также выполняется.

Таким образом, искомая дробь найдена. Стоит отметить, что существуют и другие, более сложные решения (например, $\frac{86}{98}$), но $\frac{6}{9}$ является самым простым и известным ответом на эту загадку.

Ответ: $\frac{6}{9}$.