Номер 420, страница 96, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

420 Можно ли найти 4 различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что такие четыре различных простых числа существуют. Обозначим эти числа как $p_1$, $p_2$, $p_3$ и $p_4$. По условию, все они являются простыми и различными, то есть $p_i \neq p_j$ при $i \neq j$.

Согласно условию, произведение двух из этих чисел равно произведению двух других. Не теряя общности, мы можем записать это в виде равенства:

$p_1 \cdot p_2 = p_3 \cdot p_4$

Рассмотрим число, которое является результатом этого произведения. Обозначим его $N$. Таким образом, $N = p_1 \cdot p_2$ и $N = p_3 \cdot p_4$.

Теперь обратимся к основной теореме арифметики. Она гласит, что любое натуральное число больше 1 может быть представлено в виде произведения простых чисел, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

В нашем случае, у числа $N$ есть два представления в виде произведения простых чисел: $p_1 \cdot p_2$ и $p_3 \cdot p_4$. Согласно основной теореме арифметики, наборы простых множителей в обоих представлениях должны быть идентичны. Это означает, что множество чисел $\{p_1, p_2\}$ должно быть равно множеству чисел $\{p_3, p_4\}$.

Это равенство множеств возможно только в двух случаях:

1. $p_1 = p_3$ и $p_2 = p_4$

2. $p_1 = p_4$ и $p_2 = p_3$

Однако оба этих случая прямо противоречат нашему первоначальному предположению о том, что все четыре простых числа ($p_1, p_2, p_3, p_4$) различны. Например, если $p_1 = p_3$, то это уже не четыре различных числа.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: нет, невозможно найти 4 различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других.