Номер 450, страница 101, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

450 Докажи или опровергни утверждение.

1) Если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел.

2) Если число делится на два других числа, то оно делится и на их произведение.

3) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число.

1) Если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел.

Это утверждение верно. Докажем его.
Пусть число $a$ делится на произведение двух чисел $b$ и $c$ (причем $b \neq 0$ и $c \neq 0$). Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство: $a = k \cdot (b \cdot c)$.
Мы можем переписать это равенство как $a = (k \cdot c) \cdot b$. Так как $k$ и $c$ — целые числа, то их произведение $(k \cdot c)$ также является целым числом. Обозначим $m = k \cdot c$. Тогда $a = m \cdot b$. По определению делимости, это означает, что число $a$ делится на $b$.
Аналогично, равенство $a = k \cdot (b \cdot c)$ можно переписать как $a = (k \cdot b) \cdot c$. Так как $k$ и $b$ — целые числа, то их произведение $(k \cdot b)$ также является целым числом. Обозначим $n = k \cdot b$. Тогда $a = n \cdot c$. Это означает, что число $a$ делится на $c$.
Таким образом, если число делится на произведение двух чисел, оно делится и на каждый из множителей.
Ответ: утверждение верно.

2) Если число делится на два других числа, то оно делится и на их произведение.

Это утверждение неверно. Опровергнем его с помощью контрпримера.
Рассмотрим число $a = 12$ и два других числа $b = 6$ и $c = 4$.
Число $a = 12$ делится на $b = 6$ без остатка, так как $12 : 6 = 2$.
Число $a = 12$ также делится на $c = 4$ без остатка, так как $12 : 4 = 3$.
Таким образом, условие "число делится на два других числа" выполнено.
Теперь проверим, делится ли $a$ на их произведение $b \cdot c$.
Произведение $b \cdot c = 6 \cdot 4 = 24$.
Число $12$ не делится нацело на $24$, так как результат деления $12 / 24 = 0.5$ не является целым числом.
Следовательно, утверждение ложно. (Примечание: утверждение было бы верным, если бы числа $b$ и $c$ были взаимно простыми).
Ответ: утверждение неверно.

3) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число.

Это утверждение неверно. Опровергнем его с помощью контрпримера.
Пусть множители $a = 4$ и $b = 3$, а данное число $c = 6$.
Произведение этих множителей $a \cdot b = 4 \cdot 3 = 12$.
Это произведение делится на данное число $c = 6$, так как $12 : 6 = 2$. Условие "произведение двух чисел делится на данное число" выполнено.
Теперь проверим, делится ли каждый множитель на $c = 6$.
Множитель $a=4$ не делится нацело на $6$.
Множитель $b=3$ не делится нацело на $6$.
Таким образом, мы нашли контрпример, который показывает, что из того, что произведение делится на число, не следует, что каждый из множителей делится на это число. (Примечание: утверждение было бы верным, если бы делитель $c$ был простым числом, и то, как минимум один из множителей, а не обязательно каждый, должен был бы делиться на $c$).
Ответ: утверждение неверно.