Номер 455, страница 102, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

455 Найди НОД и НОК чисел 50 и 8. Какими способами можно это сделать?

Задача состоит из двух частей: найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел 50 и 8, а также описать способы, которыми это можно сделать.

Нахождение НОД (Наибольшего Общего Делителя) чисел 50 и 8

НОД — это самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка оба числа. Существует несколько способов его нахождения.

Способ 1: Разложение на простые множители.
Этот метод заключается в разложении каждого числа на простые множители. НОД будет равен произведению их общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.

1. Разложим число 50 на простые множители:
$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

2. Разложим число 8 на простые множители:
$8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

3. Общим множителем является только число 2. Наименьшая степень, в которой оно встречается в разложениях, — это первая степень ($2^1$).
Следовательно: НОД(50, 8) = $2^1 = 2$.

Способ 2: Алгоритм Евклида.
Этот метод основан на последовательном делении с остатком. НОД равен последнему ненулевому остатку.

1. Делим большее число (50) на меньшее (8) с остатком:
$50 = 8 \cdot 6 + 2$

2. Делим делитель (8) на полученный остаток (2):
$8 = 2 \cdot 4 + 0$

3. Так как остаток равен 0, последний ненулевой остаток (2) является НОД.
Следовательно: НОД(50, 8) = 2.

Способ 3: Перебор общих делителей.
Этот способ заключается в поиске всех делителей каждого числа и выборе наибольшего из общих.

1. Делители числа 50: {1, 2, 5, 10, 25, 50}.

2. Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}.

3. Общими делителями являются {1, 2}. Наибольший из них — 2.

Ответ: НОД(50, 8) = 2.

Нахождение НОК (Наименьшего Общего Кратного) чисел 50 и 8

НОК — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Способ 1: Разложение на простые множители.
Используя разложения на множители, НОК находят как произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.

1. Разложение 50: $2^1 \cdot 5^2$

2. Разложение 8: $2^3$

3. Для НОК берем каждый множитель в наибольшей степени: $2$ в степени $3$ и $5$ в степени $2$.
НОК(50, 8) = $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$.

Способ 2: Использование формулы связи НОК и НОД.
НОК двух чисел ($a$ и $b$) можно вычислить по формуле, используя их НОД:
$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

Мы уже знаем, что НОД(50, 8) = 2. Подставим значения в формулу:
$НОК(50, 8) = \frac{50 \cdot 8}{2} = \frac{400}{2} = 200$.

Способ 3: Перебор кратных.
Этот способ заключается в выписывании кратных для каждого числа до тех пор, пока не будет найдено первое общее кратное.

1. Кратные числа 50: 50, 100, 150, 200, 250, ...

2. Кратные числа 8: 8, 16, 24, ..., 192, 200, 208, ...

3. Наименьшим общим кратным является 200.

Ответ: НОК(50, 8) = 200.