Номер 454, страница 101, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

П 454 Для чисел, больших 3, определи, каким числом — простым или составным — является:

а) число, следующее за простым числом;

б) число, следующее за составным числом;

в) число, предшествующее простому числу;

г) число, предшествующее составному числу;

д) сумма двух простых чисел;

е) сумма двух составных чисел.

а) число, следующее за простым числом;
Пусть p – простое число, большее 3. Все простые числа, кроме 2, являются нечетными. Следовательно, p – нечетное число. Число, следующее за ним, равно p + 1. Сумма нечетного числа и 1 является четным числом. Так как p > 3, то p + 1 > 4. Любое четное число, большее 2, является составным, так как оно делится на 2. Например, за простым числом 5 следует число 6 (составное, $6 = 2 \cdot 3$), а за простым числом 13 следует число 14 (составное, $14 = 2 \cdot 7$). Таким образом, число, следующее за простым числом (большим 3), всегда является составным.
Ответ: составным.

б) число, следующее за составным числом;
Такое число может быть как простым, так и составным. Приведем примеры для обоих случаев.

• Если взять составное число 4, то следующее за ним число – 5, которое является простым.
• Если взять составное число 8, то следующее за ним число – 9, которое является составным ($9 = 3 \cdot 3$).

Так как возможны оба варианта, однозначного ответа нет.
Ответ: может быть как простым, так и составным.

в) число, предшествующее простому числу;
Пусть p – простое число, большее 3. Как мы уже знаем, p – нечетное число. Число, предшествующее ему, равно p - 1. Разность нечетного числа и 1 является четным числом. Так как наименьшее простое число, большее 3, это 5, то p - 1 будет не меньше, чем $5 - 1 = 4$. Любое четное число, большее 2, является составным. Например, числу 7 предшествует число 6 (составное, $6 = 2 \cdot 3$), а числу 19 предшествует число 18 (составное, $18 = 2 \cdot 9$). Следовательно, число, предшествующее простому числу (большему 3), всегда является составным.
Ответ: составным.

г) число, предшествующее составному числу;
Такое число может быть как простым, так и составным. Приведем примеры.

• Если взять составное число 6, то предшествующее ему число – 5, которое является простым.
• Если взять составное число 9, то предшествующее ему число – 8, которое является составным ($8 = 2 \cdot 4$).

Поскольку возможны оба исхода, однозначно определить нельзя.
Ответ: может быть как простым, так и составным.

д) сумма двух простых чисел;
Пусть $p_1$ и $p_2$ – два простых числа, каждое из которых больше 3. Любое простое число, большее 3, является нечетным. Сумма двух нечетных чисел ($p_1 + p_2$) всегда является четным числом. Так как $p_1 > 3$ и $p_2 > 3$, их сумма будет больше $3 + 3 = 6$. Любое четное число, большее 2, является составным. Например, $5 + 7 = 12$ (составное), $11 + 13 = 24$ (составное). Таким образом, сумма двух простых чисел, больших 3, всегда является составным числом.
Ответ: составным.

е) сумма двух составных чисел.
Такая сумма может быть как простым, так и составным числом.

• Если сложить составные числа 4 и 6, получим $4 + 6 = 10$, что является составным числом.
• Если сложить составные числа 4 и 9, получим $4 + 9 = 13$, что является простым числом.

Следовательно, результат не определен однозначно.
Ответ: может быть как простой, так и составной (в зависимости от чисел).