Номер 443, страница 99, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

443 Найди закономерность и, сохраняя её, заполни пустые клетки:

a) $1\frac{7}{15}$, $4\frac{11}{15}$, ?

?, $8\frac{2}{15}$, $11\frac{6}{15}$

б) $1\frac{1}{9}$, $2\frac{7}{9}$, ?

$8\frac{5}{9}$, ?, $3\frac{8}{9}$

в) $3\frac{1}{7}$, $2$, $6\frac{2}{7}$

$5\frac{2}{19}$, ?, $15\frac{6}{19}$

а) В данной таблице закономерность заключается в том, что числа в строках и столбцах образуют арифметические прогрессии. То есть, при движении по строке или столбцу число изменяется на одну и ту же величину.

Сначала найдем разность (шаг прогрессии) для первой строки, вычтя из второго числа первое: $d_{\text{горизонт}} = 4\frac{11}{15} - 1\frac{7}{15} = (4-1) + (\frac{11}{15} - \frac{7}{15}) = 3\frac{4}{15}$.

Теперь, чтобы найти неизвестное число в первой строке (правая верхняя ячейка), нужно прибавить эту разность ко второму числу: $4\frac{11}{15} + 3\frac{4}{15} = (4+3) + (\frac{11}{15} + \frac{4}{15}) = 7 + \frac{15}{15} = 7 + 1 = 8$.

Далее найдем разность для столбцов. Возьмем второй столбец: $d_{\text{вертикаль}} = 8\frac{2}{15} - 4\frac{11}{15}$. Для вычитания представим $8\frac{2}{15}$ как $7\frac{17}{15}$: $7\frac{17}{15} - 4\frac{11}{15} = (7-4) + (\frac{17}{15} - \frac{11}{15}) = 3\frac{6}{15}$.

Чтобы найти неизвестное число во второй строке (левая нижняя ячейка), прибавим вертикальную разность к числу, стоящему над ним (в первом столбце): $1\frac{7}{15} + 3\frac{6}{15} = (1+3) + (\frac{7}{15} + \frac{6}{15}) = 4\frac{13}{15}$.

Ответ: в верхней пустой клетке должно быть число 8, в нижней — $4\frac{13}{15}$.

б) В этой таблице используется та же закономерность — арифметическая прогрессия.

Найдем разность для первой строки: $d_{\text{горизонт}} = 2\frac{7}{9} - 5\frac{1}{9}$. Так как вычитаемое больше, результат будет отрицательным. $\frac{25}{9} - \frac{46}{9} = -\frac{21}{9} = -2\frac{3}{9}$.

Найдем неизвестное число в первой строке (правая верхняя ячейка), прибавив разность ко второму числу: $2\frac{7}{9} + (-2\frac{3}{9}) = 2\frac{7}{9} - 2\frac{3}{9} = \frac{4}{9}$.

Найдем разность для первого столбца: $d_{\text{вертикаль}} = 8\frac{5}{9} - 5\frac{1}{9} = 3\frac{4}{9}$.

Найдем неизвестное число во второй строке (центральная ячейка), прибавив вертикальную разность к числу над ним: $2\frac{7}{9} + 3\frac{4}{9} = (2+3) + (\frac{7}{9} + \frac{4}{9}) = 5 + \frac{11}{9} = 5 + 1\frac{2}{9} = 6\frac{2}{9}$.

Ответ: в верхней пустой клетке должно быть число $\frac{4}{9}$, в нижней — $6\frac{2}{9}$.

в) В данной таблице закономерность иная. Число в третьей ячейке каждой строки является произведением чисел в первых двух ячейках этой же строки.

Проверим это для первой строки: $3\frac{1}{7} \times 2 = \frac{3 \times 7 + 1}{7} \times 2 = \frac{22}{7} \times 2 = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7}$. Закономерность подтверждается.

Применим эту же закономерность для второй строки. Пусть неизвестное число — это $x$. Тогда: $5\frac{2}{19} \times x = 15\frac{6}{19}$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить третье число на первое: $x = 15\frac{6}{19} \div 5\frac{2}{19}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби и выполним деление: $x = \frac{15 \times 19 + 6}{19} \div \frac{5 \times 19 + 2}{19} = \frac{285 + 6}{19} \div \frac{95 + 2}{19} = \frac{291}{19} \div \frac{97}{19}$.

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь: $x = \frac{291}{19} \times \frac{19}{97} = \frac{291}{97} = 3$.

Ответ: в пустой клетке должно быть число 3.