Номер 437, страница 98, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Д 437

1) По таблице простых чисел подсчитай, сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен. Какую закономерность в расположении простых чисел ты замечаешь?

2) Два простых числа, разность которых равна $2$, называют близнецами. Найди в таблице все пары чисел-близнецов. Сколько таких пар среди первых $500$ чисел и среди чисел от $500$ до $1000$? Какие из них самые большие? Учёные до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.

1) Для подсчета количества простых чисел в каждой из первых десяти сотен используется таблица простых чисел. Простые числа — это натуральные числа больше единицы, которые имеют ровно два делителя: 1 и само себя. Разделим числа от 1 до 1000 на десять "сотен" и подсчитаем количество простых в каждом интервале.

Результаты подсчета по сотням:
- Первая сотня (1-100): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Всего 25 чисел).
- Вторая сотня (101-200): 21 простое число.
- Третья сотня (201-300): 16 простых чисел.
- Четвертая сотня (301-400): 16 простых чисел.
- Пятая сотня (401-500): 17 простых чисел.
- Шестая сотня (501-600): 14 простых чисел.
- Седьмая сотня (601-700): 16 простых чисел.
- Восьмая сотня (701-800): 14 простых чисел.
- Девятая сотня (801-900): 15 простых чисел.
- Десятая сотня (901-1000): 14 простых чисел.

Закономерность, которую можно заметить, заключается в том, что плотность простых чисел уменьшается по мере увеличения чисел. Это означает, что чем больше числа, тем реже среди них встречаются простые. Наибольшее количество простых чисел находится в первой сотне, а в последующих их число в целом убывает.

Ответ: В первых десяти сотнях находится следующее количество простых чисел: 25, 21, 16, 16, 17, 14, 16, 14, 15, 14. Закономерность: с увеличением чисел количество простых чисел в каждом таком же по длине промежутке в целом уменьшается.

2) Числа-близнецы — это два простых числа $p_1$ и $p_2$, разность которых равна 2, то есть $p_2 - p_1 = 2$. Ниже приведены все пары таких чисел, найденные в таблице простых чисел до 1000.

Все пары чисел-близнецов до 1000:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199),
(227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283),
(311, 313), (347, 349),
(419, 421), (431, 433), (461, 463),
(521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),
(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Подсчитаем количество таких пар в указанных промежутках:
- Среди первых 500 чисел (от 1 до 500) находятся 24 пары чисел-близнецов. Это все пары от (3, 5) до (461, 463).
- Среди чисел от 500 до 1000 находятся 11 пар чисел-близнецов. Это все пары от (521, 523) до (881, 883).

Самая большая пара чисел-близнецов среди чисел до 1000 — это последняя пара в приведенном выше списке.

Ответ: Среди первых 500 чисел — 24 пары чисел-близнецов. Среди чисел от 500 до 1000 — 11 пар. Самая большая пара чисел-близнецов до 1000 — это (881, 883).